ティスランの基準

ティスランの基準は、彗星や小惑星などの観測された軌道上の天体が、以前に観測された軌道上の天体と同じかどうかを判断するために使用されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

太陽を周回する天体が、別の巨大な天体（例えば木星）に接近した際に、その天体の軌道パラメータは劇的に変化する可能性があるが、これらのパラメータの関数であるティスランの関係式（フェリックス・ティスランによる）の値はほぼ保存されるため、接近後の軌道を認識することが可能となる。

ティスランの基準は、円形制限三体システムで計算されます。円形制限三体システムでは、質量の1つが他の2つよりもはるかに小さいと仮定されます。他の2つの質量は、システムの重心の周りの円軌道上にあると仮定されます。さらに、ティスランの基準は、a) 2つの大きな質量のうちの1つが他の大きな質量よりもはるかに小さいこと、および b) 彗星または小惑星が他の大きな質量に接近したことがないという仮定にも基づいています。

観測された2つの軌道上の天体は、ティスランの基準を満たすか、ほぼ満たす場合、同じである可能性がある。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2a_{1}}}+{\sqrt {a_{1}(1-e_{1}^{2})}}\cos i_{1}={\frac {1}{2a_{2}}}+{\sqrt {a_{2}(1-e_{2}^{2})}}\cos i_{2}}$

ここで、a は軌道長半径(第 2 天体の軌道長半径を単位とする)、e は離心率、i は第 2 天体に対する小天体の軌道傾斜角である。

言い換えれば、最初に観測された天体の軌道要素の関数（ティスランのパラメータと呼ばれる）が、2番目に観測された天体の軌道要素を用いて計算された関数と（ほぼ）等しい場合、その2つの天体は同一である可能性がある。

この関係は軌道パラメータの関数を定義しており、第3の天体が第2の（摂動）質量から遠く離れている場合、ほぼ保存される。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

この関係は、適切な単位系を選択し、いくつかの近似を用いることでヤコビ定数から導き出される。従来、単位はμ1とμ2からμ1までの（一定の）距離が_1になる_ように選択され、その結果、このシステムでは平均運動nも1となる。

さらに、μ ₁の質量はμ ₂およびμ ₃に比べて非常に大きいことを考慮すると、

${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})\approx 1\approx G(\mu _{1}+\mu _{3})}$

これらの条件は、例えば太陽・木星系において、彗星や宇宙船が第三の質量となる場合に満たされる。

_{座標ξ、η、ζ（2つの質量からの距離r 1}、r ₂ ）と速度の関数であるヤコビ定数は、遭遇の間、運動の定数として残ります。

${\displaystyle C_{J}=2\cdot ({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})+2n(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})-({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})}$

目標は、軌道パラメータを用いて定数を表現することである。

質量μ ₂から十分に離れた場所では、試験粒子（彗星、宇宙船）は二体問題解によって得られるμ ₁の周りの軌道上にあると仮定する。まず、定数の最後の項は速度なので、摂動質量μ ₂から十分に離れた場所では、 vis-viva方程式を用いて、距離と軌道長半径のみの関数として表すことができる。

${\displaystyle ({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})=v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}$

第二に、${\displaystyle \zeta }$角運動量の成分（単位質量あたり） ${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} }$は

${\displaystyle \xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}=h\cos I}$

どこ${\displaystyle I\,\!}$μ ₃とμ ₂の軌道の相互傾斜角であり、${\displaystyle h=|\mathbf {h} |={\sqrt {a(1-e^{2})}}}$。

これらをヤコビ定数 C _{Jに代入し、} μ ₂ <<1の項を無視し、r _{1 をr に置き換えると (} μ ₁が非常に大きい場合、システムの重心μ ₁、μ ₃はμ ₁の位置に非常に近い)、次の式が得られる。

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

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