調和ウェーブレット変換

信号処理の数学において、 1993 年に David Edward Newland によって導入された調和ウェーブレット変換は、与えられた関数を時間周波数表現に変換するウェーブレットベースの線形変換です。これは、短時間フーリエ変換と連続ウェーブレット変換の利点を組み合わせたものです。これは、繰り返しフーリエ変換で表現でき、その離散類似物は高速フーリエ変換アルゴリズムを使用して効率的に計算できます。

この変換では、2つの整数j（「レベル」または「次数」）とk（「変換」）でインデックス付けされた「調和」ウェーブレットのファミリを使用します。これは、 ${\displaystyle w(2^{j}tk)\!}$

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

これらの関数は直交しており、そのフーリエ変換は正方窓関数（特定のオクターブ帯域では定数、その他の帯域ではゼロ）です。特に、次の条件を満たします。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt={\frac { 1}{2^{j}}}\デルタ _{j,j'}\デルタ _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt=0}$

ここで、「*」は複素共役を表し、クロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \delta}$

j の次数が増加すると、これらのウェーブレットはフーリエ空間 (周波数) および高周波数帯域でより局所的になり、逆に時間 ( t ) では局所的になりにくくなります。したがって、任意の関数を展開するための基礎として使用される場合、ウェーブレットは異なる時間スケール (および異なるkに対する異なる時間オフセット) での関数の挙動を表します。

しかし、負の次数（j < 0）をすべて組み合わせて、単一の「スケーリング」関数のファミリーにすることは可能です。 ${\displaystyle \varphi (tk)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}$

関数φ は異なるkに対して自身と直交し、また非負のjに対してウェーブレット関数とも直交します。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(tk)\cdot \varphi (tk')\,dt=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}$

したがって、調和ウェーブレット変換では、任意の実数値または複素数値関数（L2内）が、調和ウェーブレット（すべての整数jに対して）とその複素共役の基底で展開されます。 ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

あるいは、スケーリング関数φによって補完された非負のjに対するウェーブレットの基底において：

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

原理的には、展開係数は直交関係を使用して計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}$

実数値関数f ( t ) の場合、独立した展開係数の数を半分に減らすことができます。 ${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$

この展開は、パーセバルの定理に類似した次の性質を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}$

ただし、直交関係から直接展開係数を計算するのではなく、フーリエ変換のシーケンスを使用して計算することも可能です。これは、この変換の離散アナログ (離散t ) でははるかに効率的であり、高速フーリエ変換アルゴリズムを活用できます。

• Newland, David E. (1993 年 10 月 8日)。「ハーモニック ウェーブレット解析」。Proceedings of the Royal Society of London。A  . 443 ( 1917): 203–225。Bibcode :1993RSPSA.443..203N。doi : 10.1098 /rspa.1993.0140。JSTOR 52388。S2CID 122912891  。
• Silverman, BW; Vassilicos, JC 編 (2000)。ウェーブレット:断続的な情報への鍵?。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850716-X。
• Boashash, Boualem 編 (2003)。時間周波数信号解析と処理: 総合リファレンス。Elsevier。ISBN 0-08-044335-4。