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追加要素定理（EET）は、 RDミドルブルックが開発した、線形電子回路の駆動点と伝達関数を導出するプロセスを簡素化する解析手法です。[1]テブナンの定理と同様に、追加要素定理は1つの複雑な問題をいくつかのより単純な問題に分解します。
駆動点と伝達関数は、一般にキルヒホッフの回路法則を使用して見つけることができます。ただし、回路の動作についてほとんど情報を提供しない複雑な方程式がいくつか得られる場合があります。追加要素定理を使用すると、回路要素 (抵抗器など) を回路から削除して、目的の駆動点または伝達関数を見つけることができます。回路を最も複雑にする要素 (フィードバックを作成する要素など) を削除することで、目的の関数を簡単に取得できます。次に、2 つの補正係数を見つけて、以前に導出した関数と組み合わせて、正確な式を見つける必要があります。
余剰要素定理の一般的な形式はN余剰要素定理と呼ばれ、複数の回路要素を一度に削除することを可能にします。[2]
一般的な定式化
（単一）追加要素定理は、任意の伝達関数を、その要素を取り除いた伝達関数と補正係数の積として表す。補正係数項は、追加要素のインピーダンスと、追加要素から見た2つの駆動点インピーダンス、つまり二重ヌル注入駆動点インピーダンスと単一注入駆動点インピーダンスから構成される。追加要素は一般に、要素を短絡または開放することで除去できるため、EET には2つの同等の形式がある: [3] または、
ここで、上記の式におけるラプラス領域の伝達関数とインピーダンスは、次のように定義されます。H ( s ) は、追加要素が存在する場合の伝達関数です。H ∞ ( s )は、追加要素が開回路の場合の伝達関数です。H 0 ( s )は、追加要素が短絡されている場合の伝達関数です。Z ( s ) は、追加要素のインピーダンスです。Z d ( s )は、追加要素から見たシングル注入駆動点インピーダンスです。Z n ( s ) は、追加要素から見たダブルヌル注入駆動点インピーダンスです。
ちなみに、余剰要素定理は、あらゆる電気回路の伝達関数が、特定の回路要素の双線形関数としてしか表現できないことを証明しています。
駆動点インピーダンス
シングルインジェクション駆動点インピーダンス
Z d ( s )は、システムの伝達関数への入力をゼロ（電圧源を短絡するか、電流源を開放する）にし、追加要素が存在しない状態で追加要素が接続される端子間のインピーダンスを決定することによって求められます。このインピーダンスは、テブナンの等価インピーダンスと同じです。
ダブルヌル注入駆動点インピーダンス
Z n ( s ) は、追加要素を 2 番目のテスト信号源 (適切な電流源または電圧源) に置き換えることによって求められます。次に、 Z n ( s )は、システムの伝達関数の出力がシステムの伝達関数へのプライマリ入力の任意の値に対してゼロになったときに、この 2 番目のテスト信号源の端子間の電圧と正の端子から出る電流の比として定義されます。
実際には、伝達関数の出力がゼロにされ、伝達関数への主要な入力が未知であるという事実から逆算することで、Z n ( s ) を見つけることができます。次に、従来の回路解析手法を使用して、追加要素テスト ソースの端子間の電圧v n ( s )と、追加要素テスト ソースの正の端子から流出する電流i n ( s )の両方を表し、を計算します。 Z n ( s )の計算は多くのエンジニアにとって馴染みのないプロセスですが、伝達関数の出力をゼロにすると回路内の他の電圧/電流がゼロになることが多く、特定のコンポーネントを解析から除外できるため、その式はZ d ( s )のものよりもはるかに単純であることがよくあります。
伝達関数を自己インピーダンスとする特殊なケース
特別なケースとして、EET は「追加」として指定された要素を追加したネットワークの入力インピーダンスを見つけるために使用できます。この場合、Z d は、入力テスト電流源信号のインピーダンスをゼロにしたもの、または入力がオープン回路になっているものと同じです。同様に、伝達関数の出力信号は入力端子の電圧と見なすことができるため、Z n は入力電圧がゼロ、つまり入力端子が短絡しているときに見つかります。したがって、この特定のアプリケーションでは、EET は次のように記述できます。 ここで
- 追加要素として選択されたインピーダンス
- Zを取り除いた（または無限大にした）入力インピーダンス
- 入力が短絡（またはゼロに）された状態で追加要素Zから見たインピーダンスです。
- 入力が開いている（または無限大になっている）場合の追加要素Zから見たインピーダンスです。
これら 3 つの項を計算するのは余分な労力がかかるように思えるかもしれませんが、全体的な入力インピーダンスを計算するよりも簡単に計算できる場合がよくあります。
例
図1の回路をEETを使って 求める問題を考えてみましょう（簡単のため、すべての部品の値は1です）。コンデンサ（灰色の網掛け部分）を余分な要素とすると、
このコンデンサを回路から取り除くと、
入力が短絡された状態でコンデンサから見たインピーダンスを計算すると、
入力が開いている状態でコンデンサから見たインピーダンスを計算すると、
したがって、EETを使用すると、
この問題は、検査によって 3 つの簡単な駆動点インピーダンスを計算することで解決されました。
フィードバックアンプ
EET は、単一ループおよび複数ループのフィードバック アンプの解析にも役立ちます。この場合、EET は漸近ゲイン モデルの形をとることができます。
参照
さらに読む
- クリストフ・バッソ『線形回路伝達関数：高速解析技術入門』初版、Wiley、IEEE Press、2016、978-1119236375
参考文献
- ^ Vorpérian, Vatché (2002). 電気・電子回路の高速解析技術。ケンブリッジ UK/NY: ケンブリッジ大学出版局。pp. 61–106。ISBN 978-0-521-62442-8。
- ^ Vorpérian, Vatché (2002-05-23). 電気・電子回路の高速解析技術。ケンブリッジ大学出版局。pp. 137–139。ISBN 978-0-521-62442-8。
- ^ Middlebrook RD (1989). 「Null Double Injection と Extra Element Theorem」(PDF) . IEEE Transactions on Education . 32 (3): 167–180. Bibcode :1989ITEdu..32..167M. doi :10.1109/13.34149.
外部リンク
- EETの適用例
- 導出と例
- 小信号モデリングにおける高速解析技術