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タルスキの円二乗問題とは、 1925年にアルフレッド・タルスキが提起した問題で、平面上の円板を有限個に切り、それらを再構成して面積の等しい正方形を作るというものである。これは1990年にミクローシュ・ラツコビッチによって可能であることが証明された。この分解は選択公理を多用しているため非構成的である。ラツコビッチは、分解におけるピースの数をおよそ10 50と見積もった。分解に使用されたピースは、平面の非測定サブセットである。2016年にŁukasz Grabowski、András Máthé、Oleg Pikhurkoによって構成的解法が示された[1] 。これは、測度が0の集合を除くすべての場所で機能する。より最近では、Andrew MarksとSpencer Unger (2017)が約 個のボレルピース を使用した完全に構成的な解法を示した。[2] 2021年にマテ、ノエル、ピクルコが作品の特性を改良した。[3] [4]
特に、レスター・デュビンズ、モリス・W・ハーシュ、ジャック・カルシュは、理想的なはさみ（つまり、ジョルダン曲線境界を持つ）で切ることができる部分を使用して円を分割し正方形を作ることは不可能であることを証明した。[5]
ラツコビッチは実際に、回転は必要なく、平行移動のみで再構成できることを証明しました。その過程で、平面上の任意の単純な多角形は有限個のピースに分解でき、平行移動のみを使用して再構成して等面積の正方形を形成できることも証明しました。ボヤイ・ガーウィーン定理は関連していますが、はるかに単純な結果です。これは、再構成に平行移動と回転の両方が許される場合、有限個の多角形ピースを持つ単純な多角形のそのような分解を達成できると述べています。
ウィルソン (2005) の結果から、正方形になるように、ピースを連続的に動かしながらも、ピース同士がつながっていない状態を保つように選択することが可能であることが分かります。さらに、このより強力なステートメントは、平行移動のみによって達成できることも証明できます。
これらの結果は、バナッハ-タルスキーのパラドックスによって提供される、3 次元でのはるかに矛盾した分解と比較する必要があります。これらの分解では、集合の体積さえも変更できます。ただし、平面では、有限個の部分に分解すると、部分のバナッハ測度の合計が保存されるため、集合の総面積は変更できません (Wagon 1993)。
参照
- 円を正方形にする、これは別の問題です。定規とコンパスだけを使って、与えられた円に対して等しい面積の正方形を描くという作業です (これは不可能であることが証明されています) 。
参考文献
- ^ Grabowski, Łukasz; Máthé, András; Pikhurko, Oleg (2022年4月27日). 「拡大特性を持つ群作用の測定可能な等式合成」.欧州数学会誌. 24 (12): 4277–4326. arXiv : 1601.02958 . doi : 10.4171/JEMS/1189 .
- ^ Marks, Andrew; Unger, Spencer (2017年8月25日). 「Tarskiの円二乗問題に対する建設的な解法（プレゼンテーション）」(PDF) 。 2021年7月12日閲覧。
- ^ Máthé, András; Noel, Jonathan A.; Pikhurko, Oleg (2022-02-03). 「小さな境界と低いボレル複雑度のピースによる円のスクエアリング」。arXiv : 2202.01412 [ math.MG ]。
- ^ Nadis, Steve (2022-02-08). 「古代の幾何学の問題は新たな数学的手法で解決される」. Quanta Magazine . 2022-02-18閲覧。
- ^ Dubins, Lester; Hirsch, Morris W.; Karush, Jack (1963年12月). 「Scissor congruence」. Israel Journal of Mathematics . 1 (4): 239–247. doi :10.1007/BF02759727. ISSN 1565-8511.
- ヘルテル、エイケ。クリスチャン リヒター (2003)、「解剖による円の二乗」(PDF)、Beiträge zur Algebra und Geometrie、44 (1): 47–55、MR 1990983。
- Laczkovich, Miklos (1990), "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1990 (404): 77–117, doi :10.1515/crll.1990.404.77, MR 1037431 、S2CID 117762563。
- Laczkovich, Miklos (1994)、「逆説的分解: 最近の成果の調査」、Proc. First European Congress of Mathematics、Vol. II (パリ、1992)、Progress in Mathematics、vol. 120、バーゼル: Birkhäuser、pp. 159–184、MR 1341843。
- マークス、アンドリュー; アンガー、スペンサー (2017)、「ボレル円の二乗」、数学年報、186 (2): 581–605、arXiv : 1612.05833、doi :10.4007/annals.2017.186.2.4、S2CID 738154。
- タルスキー、アルフレッド(1925)、「問題 38」、Fundamenta Mathematicae、7 : 381。
- ウィルソン、トレバー M. (2005)、「バナッハ-タルスキーのパラドックスの連続運動バージョン: デ・グルートの問題の解決」(PDF)、Journal of Symbolic Logic、70 (3): 946–952、doi :10.2178/jsl/1122038921、MR 2155273、S2CID 15825008。
- ワゴン、スタン（1993）、バナッハ・タルスキのパラドックス、数学とその応用百科事典、第24巻、ケンブリッジ大学出版局、p. 169、ISBN 9780521457040。