タキオン反電話

タキオン反電話は、理論物理学における仮説上の装置で、自分の過去に信号を送るのに使用できる。アルバート・アインシュタインは1907年に^{[1] [2]、}光より速い信号がどのようにして因果律のパラドックスにつながるかという思考実験 を提示し、これは1910年にアインシュタインとアーノルド・ゾンマーフェルトによって「過去に電信する」手段として説明された。^[3]同じ思考実験は1917年にリチャード・チェイス・トールマンによって説明されており、 ^{[4]そのため、}トールマンのパラドックスとしても知られている。

「過去に電信送信」できる装置は、後にグレゴリー・ベンフォードらによって「タキオン反電話」とも呼ばれた。^[5]現在の物理学の理解によれば、そのような光より速い情報転送は実際には不可能である。

トールマンはアインシュタインの思考実験の次のようなバリエーションを使用しました: ^{[1] [4]}端点がとである距離を想像してください。信号が A から送信され、速度を伴ってB に向かって伝播するとします。これはすべて、端点が静止している慣性系で測定されます。B への到着は次のように求められます: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \Delta t=t_{1}-t_{0}={\frac {BA}{a}}.}$

ここで、A での出来事は B での出来事の原因です。しかし、相対速度vで移動する慣性系では、B への到着時間はローレンツ変換( cは光速) に従って与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{1}-t'_{0}={\frac {t_{1}-vB/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-{\frac {t_{0}-vA/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\\&={\frac {1-av/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\Delta t.\end{aligned}}}$

a > cの場合、vの特定の値はΔt' を負にすることができることは簡単に示せます。言い換えると、このフレームでは原因よりも先に結果が発生します。アインシュタイン (および同様にトールマン) は、この結果には論理的な矛盾は含まれていないと結論付けました。しかし、これは私たちの経験全体と矛盾しているため、a > cの不可能性は十分に証明されているようです。^[1]

この思考実験のより一般的なバリエーションは、信号を送信者に送り返すことです（同様のものがデイヴィッド・ボーム^[7]によって提案されています）。アリス（A）が地球から正の x 方向に速度 で遠ざかっている宇宙船に乗っていて、故郷のボブ（B）と通信したいとします。両者とも、 の速度で光より速い信号を送受信できる装置を持っていると仮定します。アリスはこの装置を使用してボブにメッセージを送り、ボブは返信を送ります。ボブの基準フレームの座標の原点 が、アリスのメッセージの受信と一致する場合、ボブがすぐにアリスにメッセージを返信すると、ボブの静止フレームでは、返信信号の座標（c =1となる自然単位で）は次のように表されます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a>1}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle (t,x)=(t,at)}$

アリスが応答をいつ受信したかを調べるために、地球に対して速度 で正の x 方向に移動するアリスのフレームにローレンツ変換を実行します。このフレームでは、アリスは位置 で静止しています。ここでは、アリスが地球に送信した信号が静止フレームで移動した距離です。応答信号の座標は次のように与えられます。 ${\displaystyle S'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x'=L}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle t'=\gamma \left(1-av\right)t}$

${\displaystyle x'=\gamma \left(av\right)t}$

応答は のときにアリスによって受信されます。これは を意味し、したがって次のようになります。 ${\displaystyle x'=L}$${\displaystyle t={\tfrac {L}{\ガンマ (av)}}}$

${\displaystyle t'={\frac {1-av}{av}}L}$

アリスがボブに送信したメッセージがボブに届くまでに時間がかかったため、アリスがボブから受け取る返信メッセージは次の時間に届きます。 ${\displaystyle {\tfrac {L}{a}}}$

${\displaystyle T={\frac {L}{a}}+t'=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1-av}{av}}\right)L}$

彼女がメッセージを送信したよりも後です。しかし、その後、アリスは、最初にメッセージを送信する前にボブからメッセージを受信します。 ${\displaystyle v>{\tfrac {2a}{1+a^{2}}}}$${\displaystyle T<0}$

例として、アリスとボブは慣性で相対速度 0.8 cで動いている宇宙船に乗っています。ある時点で彼らは隣同士ですれ違い、アリスは彼らのすれ違いの位置と時間を彼女のフレームで位置x = 0、時間t = 0 と定義し、ボブは彼のフレームで位置x′ = 0、時間t′ = 0と定義します(これは、ボブがアリスからタキオン信号を受信したイベントを座標の原点とした前のセクションで使用した規則とは異なることに注意してください)。アリスのフレームでは、アリスは位置x = 0 で静止していますが、ボブは 0.8 cで正のx方向に動いています。ボブのフレームでは、ボブは位置x′ = 0で静止しており、アリスは 0.8 cで負のx′方向に動いています。また、それぞれの宇宙船にはタキオン送信機が搭載されており、宇宙船自身のフレームで 2.4 cで移動する信号を送信します。

アリスの時計が、彼女がボブの隣を通過してから 300 日が経過したことを示すと (アリスのフレームではt = 300 日)、アリスはタキオン送信機を使用してボブにメッセージを送信し、「あー、今、まずいエビを食べた」と伝えます。アリスのフレームでt = 450 日の時点で、アリスは、タキオン信号が 2.4 ℃で 150 日間彼女から遠ざかっているため、アリスのフレームでは x = 2.4×150 = 360光日の位置にあるはずであり、ボブは 0.8 ℃で450 日間彼女から遠ざかっているため、アリスのフレームではx = 0.8×450 = 360 光日の位置にあるはずであると計算します。つまり、これが信号がボブに追いついた瞬間です。したがって、彼女のフレームでは、ボブはアリスのメッセージをx = 360、t = 450 で受信します。時間の遅れの影響により、彼女のフレームではボブは彼女よりも 倍、この場合は 0.6 倍遅く老化するため、ボブの時計はメッセージを受信した時点で 0.6×450 = 270 日が経過したことしか示しません。つまり、彼のフレームではx′ = 0、t′ = 270 で受信したことになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{(v/c)^{2}}}}$

ボブはアリスのメッセージを受け取ると、すぐに自分のタキオン送信機を使ってアリスに「エビを食べないで！」というメッセージを送り返します。ボブのフレームで 135 日後、t′ = 270 + 135 = 405 のとき、ボブはタキオン信号が 135 日間− x′方向に 2.4 cで遠ざかっているため、ボブのフレームでは現在位置x′ = −2.4×135 = −324 光日にあるはずであり、アリスは− x方向に 405 日間 0.8 cで遠ざかっているため、現在位置x′ = −0.8×405 = −324 光日にあるはずであると計算します。したがって、アリスはボブのフレームではx′ = −324、t′ = 405で返事を受け取ります。慣性観測者の時間の遅れは対称的であるため、ボブのフレームではアリスはボブよりも同じ 0.6 倍遅く老化するため、アリスが返事を受け取ったときにアリスの時計は 0.6×405 = 243 日経過したことを示しているだけです。つまり、アリスはボブを追い越してからわずか 243 日後にボブから「エビを食べないで!」というメッセージを受け取りますが、ボブを追い越してから 300 日が経過するまで「うわー、今、まずいエビを食べちゃった」というメッセージは送ってはいけないことになっていたため、ボブの返事はアリス自身の将来についての警告となります。

これらの数値は、ローレンツ変換を使用して再確認できます。ローレンツ変換は、アリスのフレームで何らかのイベントの座標がx tであることがわかっている場合、同じイベントはボブのフレームで次のx′、t′座標を持つ必要があることを示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\\end{aligned}}}$

ここで、vはアリスのフレームにおけるボブのx軸に沿った速度、c は光速（時間に日、距離に光日を単位として使用している。したがって、これらの単位ではc = 1）、は ローレンツ因子です。この場合、 v =0.8 c、および です。アリスのフレームでは、アリスがメッセージを送信するイベントはx = 0、t = 300 で発生し、ボブがアリスのメッセージを受信するイベントはx = 360、t = 450 で発生します。ローレンツ変換を使用すると、ボブのフレームでは、アリスがメッセージを送信するイベントは、位置x′ = (1/0.6)×(0 − 0.8×300) = −400 光日、時間t′ = (1/0.6)×(300 − 0.8×0) = 500 日で発生することがわかります。同様に、ボブのフレームでは、ボブがアリスのメッセージを受信するイベントは、位置x′ = (1/0.6)×(360 − 0.8×450) = 0 光日、時間t′ = (1/0.6)×(450 − 0.8×360) = 270 日で発生し、これは前の段落で見つかったボブのフレームの座標と同じです。 ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c)^{2}}}}}$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{0.6}}}$

各フレームの座標を比較すると、アリスのフレームではタキオン信号が時間的に前進し（アリスはボブが受信した時刻よりも前に信号を送信した）、送信と受信の間で（位置の差）/（時間の差）= 360/150 = 2.4 cであることがわかります。ボブのフレームでは、アリスの信号は時間的に後退し（アリスはt′ = 270 に信号を受信しましたが、送信されたのはt′ = 500 でした）、（位置の差）/（時間の差）は 400/230、約 1.739 cです。2 つのフレームで信号の送受信の順序が一致しないという事実は、同時性の相対性の一例です。これは、古典物理学には類似するものがない相対性の特徴であり、相対性理論において超光速通信が必然的に因果律違反につながる理由を理解する鍵となります。

ボブはアリスのメッセージを受信して​​ほぼ瞬時に返信を送信したと想定されるため、返信を送信した座標は同じであると想定できます。アリスのフレームではx = 360、t = 450、ボブのフレームではx′ = 0、t′ = 270 です。アリスがボブの返信を受信するイベントが彼女のフレームでx′ = 0、t′ = 243 で発生した場合 (前の段落のように)、ローレンツ変換によれば、ボブのフレームではアリスは位置x′' = (1/0.6)×(0 − 0.8×243) = −324 光日で、時刻t′ = (1/0.6)×(243 − 0.8×0) = 405 日で返信を受信します。ボブの返信は、送信された時刻がt′ = 270 で、受信された時刻がt′ = 405 なので、明らかにボブ自身のフレームでは時間的に前進しています。また、ボブのフレームでは、彼の信号の (位置の差)/(時間の差) は 324/135 = 2.4 cで、アリス自身のフレームでの元の信号の速度とまったく同じです。同様に、アリスのフレームでは、ボブの信号は時間的に後戻りし (アリスはボブが送信する前に受信しています)、(位置の差)/(時間の差) は 360/207、約 1.739 cです。

したがって、ローレンツ変換を使用して計算された各フレームでの送信時間と受信時間は、ローレンツ変換を明示的に使用する前の前の段落で示した時間と一致します。また、ローレンツ変換を使用することで、2 つのタキオン信号が各観測者のフレームで対称的に動作することがわかります。つまり、特定の信号を送信する観測者は、それが 2.4 cで時間的に前進すると測定し、受信する観測者は、それが 1.739 cで時間的に後退すると測定します。対称的なタキオン信号のこのような可能性は、すべての物理法則がすべての慣性フレームでまったく同じように機能しなければならないという特殊相対性理論の2 つの公理の最初の公理をタキオンが尊重するために必要です。これは、あるフレームで 2.4 ℃の信号を送信できる場合、他のフレームでも同様に可能であることを意味し、同様に、あるフレームで時間を逆方向に移動する信号を観測できる場合、他のフレームでもそのような現象を観測できるはずです。これは、超光速通信が相対性理論における因果律違反につながる理由を理解するためのもう 1 つの重要なアイデアです。相対性理論の第一公理に反して、タキオンに「優先フレーム」が許可された場合、理論的には因果律違反を回避することができます。^[8]

ベンフォードら^[5]は、このようなパラドックス全般について書き、2つの当事者が2時間前にメッセージを送信できるシナリオを提示しています。

時間を遡る通信のパラドックスはよく知られています。A と B が次のような合意を結んだとします。A は、 1 時にメッセージを受信しなかった場合に限り、 3 時にメッセージを送信します。B は、3 時に A からメッセージを受信するとすぐに、1 時に A にメッセージを送信します。すると、メッセージの交換は、行われなかった場合に限り行われます。これは真のパラドックス、因果的矛盾です。

彼らは、タキオンのような超光速粒子は信号を伝達できないと結論付けた。

• 祖父のパラドックス
• アンシブル
• 時間的パラドックス