シルベスターマトロイド

マトロイド理論において、シルベスターマトロイドとは、すべての要素のペアがマトロイドの3要素回路（三角形）に属するマトロイドのことである。 ^{[1] [2]}

点線（つまり、要素上の階数 2 の均一マトロイド）は、すべての要素のペアが基底であり、すべての 3 つ組が回路であるため、シルベスター マトロイドです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U{}_{n}^{2}}$

ランク 3 のシルベスター マトロイドは、マトロイドの線をシステムの 3 つとして定義することによって、任意のシュタイナー 3 重システムから形成できます。ランク 3 のシルベスター マトロイドは、シルベスター ガライ構成、つまり 2 点直線のない点と線の構成 (非ユークリッド空間内) から形成することもできます。たとえば、ファノ平面とヘッセ構成は、それぞれ 7 要素と 9 要素のシルベスター マトロイドを生成し、シュタイナー 3 重システムまたはシルベスター ガライ構成として解釈できます。

ランク を持つシルベスターマトロイドは少なくとも 個の要素を持つ必要がある。この境界はGF(2)上の射影空間に対してのみ厳密であり、ファノ平面はその一例である。^[3]${\displaystyle r}$${\displaystyle 2^{r}-1}$

シルベスターマトロイドでは、すべての独立集合にさらに1つの要素を追加してマトロイドの回路を形成できます。^{[1] [4]}

シルベスターマトロイド（ 以外）は実数上で表現できず（これはシルベスター・ガライの定理）、 に向けることもできない。^[5]${\displaystyle U{}_{n}^{2}}$

シルベスターマトロイドは、ユークリッド平面または高次元ユークリッド空間内の点と線に対する「すべての有限の点の集合に対して、そのうちの2つの点のみを含む直線が存在する」 というシルベスター・ガライ定理に違反するため、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターにちなんでマーティ(1969) によって研究され命名されました。