スーパープロセス

任意の整数に対して${\displaystyle N\geq 1}$分岐ブラウン過程を考える${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$以下のように定義される。

• 開始${\displaystyle t=0}$と${\displaystyle N}$確率分布に従って分布する独立粒子${\displaystyle \mu }$。
• 各粒子はブラウン運動に従って独立して運動する。
• 各粒子は独立して一定の速度で消滅する${\displaystyle N}$。
• 粒子が消滅すると、確率は${\displaystyle 1/2}$同じ場所で2匹の子を産む。

表記法${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$意味は次のように解釈されるべきです。${\displaystyle t}$集合内の粒子の数${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$は${\displaystyle Y^{N}(t,A)}$。 言い換えると、${\displaystyle Y}$は測度値ランダム過程である。 ^{[ 1 ]}

次に、スケール変更後のプロセスを定義します。

${\displaystyle X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)}$

すると、有限次元分布は${\displaystyle X^{N}}$収束する${\displaystyle N\to +\infty }$測度値ランダム過程のものへ${\displaystyle X(t,dx)}$これは、${\displaystyle (\xi ,\phi )}$-スーパープロセス、^{[ 1 ]}初期値付き${\displaystyle X(0)=\mu }$、 どこ${\displaystyle \phi (z):={\frac {z^{2}}{2}}}$そしてどこで${\displaystyle \xi }$はブラウン運動（具体的には、${\displaystyle \xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})}$どこ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$測定可能な空間である、$\displaystyle (\mathcal F_t)_t\geq 0$濾過であり、$\displaystyle \xi _{t}}$下${\displaystyle {\textbf {P}}_{x}}$ブラウン運動の法則はどこから始まったのか${\displaystyle x}$)

次のセクションで詳しく説明しますが、${\displaystyle \phi }$基となる分岐メカニズムをエンコードし、${\displaystyle \xi }$粒子の動きを符号化します。ここでは、${\displaystyle \xi }$はブラウン運動であり、結果として生じる物体はスーパーブラウン運動として知られています。^{[ 1 ]}

当社の個別分岐システム${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$さらに高度化することも可能で、さまざまなスーパープロセスにつながる可能性がある。

• の代わりに${\displaystyle \mathbb {R} }$状態空間は任意のルシン空間になり得る${\displaystyle E}$。
• 粒子の基本的な運動は次のように表される。${\displaystyle \xi =(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\xi _{t},{\textbf {P}}_{x})}$、 どこ$\displaystyle \xi _{t}}$これは、càdlàgマルコフ過程です（詳細は^{[ 1 ]第 4 章を参照）。}
• 粒子は一定の速度で消滅する$\displaystyle \gamma _{N}}$
• 粒子が時間とともに消滅するとき${\displaystyle t}$に位置する$\displaystyle \xi _{t}}$ランダムな数の子孫を生み出す${\displaystyle n_{t,\xi _{t}}}$これらの子孫は移動し始めます$\displaystyle \xi _{t}}$我々は、${\displaystyle n_{t,x}}$完全に依存${\displaystyle x}$、そしてそれがすべて${\displaystyle (n_{t,x})_{t,x}}$独立しています。${\displaystyle p_{k}(x)=\mathbb {P} [n_{t,x}=k]}$そして定義する${\displaystyle g}$関連する確率生成関数：${\textstyle g(x,z):=\sum \limits _{k=0}^{\infty }p_{k}(x)z^{k}}$

子孫の期待数が制限されるという以下の要件を追加します。$$\displaystyle \sup \limits _{x\in E}\mathbb {E} [n_{t,x}]<+\infty }$$定義する${\displaystyle X^{N}(t,dx):={\frac {1}{N}}Y^{N}(t,dx)}$上記のとおり、以下の重要な関数を定義します。$${\displaystyle \phi _{N}(x,z):=N\gamma _{N}\left[g_{N}{\Big (}x,1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\,-\,{\Big (}1-{\frac {z}{N}}{\Big )}\right]}$$すべての要件を追加します${\displaystyle a\geq 0}$、 それ${\displaystyle \phi _{N}(x,z)}$は に関してリプシッツ連続である${\displaystyle z}$均一に${\displaystyle E\times [0,a]}$そして、$\displaystyle \phi _{N}}$ある関数に収束する${\displaystyle \phi }$として${\displaystyle N\to +\infty }$均一に${\displaystyle E\times [0,a]}$。

これらの条件がすべて満たされると、${\displaystyle X^{N}(t)}$測度値ランダム過程のものに収束する${\displaystyle X(t,dx)}$これは${\displaystyle (\xi ,\phi )}$-スーパープロセス、^{[ 1 ]}初期値付き${\displaystyle X(0)=\mu }$。

分岐粒子系${\displaystyle Y^{N}(t,dx)}$さらに以下のように一般化できる。

• 当該時間間隔における死亡確率${\displaystyle [r,t)}$粒子が軌道に沿って移動する$\displaystyle (\xi _{t})_{t\geq 0}}$は${\displaystyle \exp \left\{-\int _{r}^{t}\alpha _{N}(\xi _{s})K(ds)\right\}}$どこ${\displaystyle \alpha _{N}}$は正の測定可能な関数であり、${\displaystyle K}$は連続関数である${\displaystyle \xi }$（詳細は^{[ 1 ]第2章を参照）。}
• 粒子が軌道を追従するとき${\displaystyle \xi }$死亡時刻${\displaystyle t}$測度値確率カーネルに従って子孫を生み出す${\displaystyle F_{N}(\xi _{t-},d\nu )}$つまり、子孫は必ずしも親のいる場所で生まれるとは限らない。子孫の数は次のように表される。${\displaystyle \nu (1)}$と仮定する${\displaystyle \sup \limits _{x\in E}\int \nu (1)F_{N}(x,d\nu )<+\infty }$。

そして、適切な仮定の下で、${\displaystyle X^{N}(t)}$測度値ランダム過程のものに収束する${\displaystyle X(t,dx)}$これはドーソン・ワタナベ超過程と呼ばれ、^{[ 1 ]}初期値は${\displaystyle X(0)=\mu }$。