トプキスの定理

数理経済学において、トプキスの定理は比較静学を確立するのに役立つ結果です。この定理により、研究者は環境の特徴が変化した場合に選択変数の最適値がどのように変化するかを理解できます。結果は、f が( x、θ ) に関してスーパーモジュラーであり、D が格子である場合、 はθに関して非減少であると述べています。この結果は、目的関数が微分可能でない場合の比較静学の結果を確立するのに特に役立ちます。この結果は、ドナルド・M・トプキスにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle x^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in D}f(x,\theta )}$

この例では、Topkis の定理を使用すると、より標準的なツールを使用する場合と同じ結果が得られることを示します。Topkis の定理を使用する利点は、標準的な経済学ツールで研究できるよりも幅広いクラスの問題に適用できることです。

ドライバーは高速道路を運転しており、速度sを選択する必要があります。速度を上げることは望ましいですが、衝突する可能性が高くなります。道路には多少の穴pがあります。穴があると衝突の可能性が高くなります。 sは選択変数であり、p はドライバーの観点から固定された環境のパラメーターであることに注意してください。ドライバーは を目指します。 ${\displaystyle \max _{s}U(s,p)}$

私たちは、道路の穴の数に応じてドライバーの速度（選択変数）がどのように変化するかを理解したいと考えています。

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}.}$

暗黙関数定理などの標準的なツールを使って問題を解こうとする場合、問題が適切に動作すると仮定する必要があります。つまり、 U (.) は 2 回連続的に微分可能で、sに関して凹であり、 sが定義されている領域は凸であり、 pのすべての値に対して一意の最大化子が存在し、sが定義されている集合の内部にあると仮定します。最適速度は道路の穴の数の関数であることに注意してください。1 次条件を取ると、最適速度では であることがわかります。1 次条件をpに関して微分し、暗黙関数定理を使用すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$${\displaystyle s^{\ast }(p)}$${\displaystyle U_{s}(s^{\ast }(p),p)=0}$

${\displaystyle U_{ss}(s^{\ast }(p),p)(\partial s^{\ast }(p)/(\partial p))+U_{sp}(s^{\ast }(p),p)=0}$

あるいは

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}={\underset {{\text{negative since we assumed }}U(.){\text{ was concave in }}s}{\underbrace {\frac {-U_{sp}(s^{\ast }(p),p)}{U_{ss}(s^{\ast }(p),p)}} }}.}$

それで、

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}{\overset {\text{sign}}{=}}U_{sp}(s^{\ast }(p),p).}$

sとpが置換基の場合、

${\displaystyle U_{sp}(s^{\ast }(p),p)<0}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

そして、道路の穴が増えるとスピード違反が減ります。明らかに、それらは代替物であると仮定する方が合理的です。

上記のアプローチの問題は、目的関数の微分可能性と凹性に依存していることです。次の方法で Topkis の定理を使用して同じ答えを得ることができます。が においてサブモジュラー (スーパーモジュラーの反対) であることを示します。選択セットは明らかに格子であることに注意してください。 Uの交差部分が負である は十分な条件です。したがって、であることがわかっている場合。 ${\displaystyle U(s,p)}$${\displaystyle \left(s,p\right)}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0,}$${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

したがって、暗黙関数定理と Topkis の定理を使用すると同じ結果が得られますが、後者の方が仮定が少なくなります。

• アミール・ラバ（2005年）「経済学におけるスーパーモジュール性と補完性：初歩的調査」サザン・エコノミック・ジャーナル71 （ 3）：636-660。doi ：10.2307/20062066。JSTOR  20062066。
• Topkis, Donald M. (1978). 「格子上のサブモジュラー関数の最小化」.オペレーションズ・リサーチ. 26 (2): 305–321. CiteSeerX  10.1.1.557.5908 . doi :10.1287/opre.26.2.305.
• トプキス、ドナルド M. (1998)。スーパーモジュラリティと相補性。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-03244-3。