許容範囲

許容区間( TI )は、ある信頼水準で、母集団の指定されたサンプル割合が含まれる統計区間です。「より具体的には、100× p %/100×(1−α)許容区間は、母集団の少なくとも特定の割合 ( p ) が所定の信頼水準 (1−α) で含まれる限界を提供します。」^[1]「サンプルに基づく ( p 、1−α) 許容区間 (TI) は、信頼水準 1−α でサンプル母集団の少なくとも割合p が含まれるように構築されます。このような TI は通常、p コンテンツ - (1−α) カバレッジ TI と呼ばれます。」^[2]「(p、1−α) 上限許容限界(TL) は、母集団の 100 pパーセンタイルに対する1−α 上限信頼限界です。」^[2]

観測値またはランダム変量を、 共通の分布を持ち、未知のパラメータを持つ独立したランダム変数の実現として想定します。すると、エンドポイントを持つ許容区間は次の定義特性を持ちます: ^[3]${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}$${\displaystyle F_{\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle (L(\mathbf {x} ),U(\mathbf {x} )]}$

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }\left(F_{\theta }(U(\mathbf {X} ))-F_{\theta }(L(\mathbf {X} )\right)\geq p)\}=100(1-\alpha )}$

ここで は最小値関数を表します。 ${\displaystyle \inf\{\}}$

これは、エンドポイントを持つ予測区間とは対照的であり、エンドポイントには次のような定義特性がある: ^[3]${\displaystyle [l(\mathbf {x} ),u(\mathbf {x} )]}$

${\displaystyle \inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }(X_{0}\in [l(\mathbf {X} ),u(\mathbf {X} )])\}=100(1-\alpha )}$。

ここで、は同じ分布からのランダム変数ですが、最初の変数からは独立しています。 ${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle F_{\theta }}$${\displaystyle n}$

注意は、サイズnの最初のサンプルのみを扱う許容区間の定義には関係しません。 ${\displaystyle X_{0}}$

片側正規許容区間は、非心t分布に基づく標本平均と標本分散に関して正確な解を持つ。^[4] 両側正規許容区間はカイ二乗分布を使用して推定することができる。^[4]

「パラメータがわかっている場合、95% 許容区間と 95%予測区間は同じです。」^[5]母集団の正確なパラメータがわかれば、母集団の特定の割合が含まれる範囲を計算できます。たとえば、母集団が平均と標準偏差で正規分布していることがわかっている場合、その区間には母集団の 95% が含まれます (1.96 は、正規分布した母集団の 95% をカバーするZ スコアです)。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu \pm 1.96\sigma }$

しかし、母集団から 1 つのサンプルしか得られない場合、わかっているのはサンプル平均 とサンプル標準偏差のみであり、これらは真のパラメータの推定値にすぎません。その場合、推定値の分散により、母集団の 95% が必ずしも含まれるわけではありません。許容区間は、信頼水準を導入することでこの分散を制限します。信頼水準は、この区間に実際に母集団の指定された割合が含まれるという信頼度です。正規分布の母集団の場合、z スコアは、ルックアップ テーブルまたはいくつかの近似式を使用して、与えられた に対する「 k係数」または許容係数^[6]に変換できます。^[7]「自由度が無限大に近づくにつれて、予測区間と許容区間は等しくなります。」^[8]${\displaystyle {\hat {\mu }}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle {\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

許容区間は信頼区間や予測区間ほど広く知られておらず、許容区間の方が適切な場合に他の区間を誤用する可能性があるため、一部の教育者はこれを嘆いています。^{[9] [10]}

許容区間は信頼区間とは異なり、信頼区間は単一の値の母集団パラメータ（たとえば、平均または分散）をある程度の信頼度で制限しますが、許容区間は母集団の特定の割合を含むデータ値の範囲を制限します。信頼区間のサイズは完全にサンプリング誤差によるもので、サンプルサイズが大きくなるにつれて真の母集団パラメータでゼロ幅の区間に近づきますが、許容区間のサイズは部分的にサンプリング誤差と母集団の実際の分散によるもので、サンプルサイズが大きくなるにつれて母集団の確率区間に近づきます。^{[9] [10]}

許容区間は予測区間と関連しており、どちらも将来のサンプルの変動に境界を定めます。しかし、予測区間は単一の将来のサンプルのみを境界としますが、許容区間は母集団全体（つまり、将来のサンプルの任意のシーケンス）を境界とします。言い換えると、予測区間は平均して母集団の指定された割合をカバーしますが、許容区間は特定の信頼水準で母集団をカバーします。そのため、単一の区間で複数の将来のサンプルを境界とする場合は、許容区間の方が適しています。^{[10] [11]}

^[9]では次の例が示されています。

そこで、もう一度、よく知られたEPA 燃費テストのシナリオを考えてみましょう。このシナリオでは、特定のモデルの名目上同一の自動車を数台テストして燃費の数値を算出します。このようなデータを処理して、モデルの平均燃費の 95% 信頼区間を算出すれば、たとえば、そのデータを使用して、製造されたそのような自動車群の最初の 5,000 マイルの使用における平均または総ガソリン消費量を予測することができます。ただし、このような区間は、このような車をレンタルして、10 ガロンのガソリンタンク (満タン) で目的地までの 350 マイルを走れるかどうか疑問に思っている人にはあまり役に立ちません。その作業には、予測区間の方がはるかに役立ちます。 ( が「95% 確実」であることと が「95% 確実」であることの意味の違いについて考えてみましょう。) しかし、 の信頼区間も1 回の追加走行距離の予測区間も、生産される自動車の 99% が 400 マイルの航続距離を持つことを保証するためにモデルに実際に必要なガソリン タンクの大きさを決定する責任を負っている設計エンジニアに必要なものではありません。エンジニアが本当に必要としているのは、そのような自動車の走行距離の一部に対する許容区間です。${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$${\displaystyle \mu \geq 35}$${\displaystyle y_{n+1}\geq 35}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p=.99}$

もう一つの例は次の通りである: ^[11]

空気中の鉛濃度は施設内のさまざまなエリアから収集されました。対数変換された鉛濃度は正規分布によく適合していることが指摘されました（つまり、データは対数正規分布から得られます）。および は、それぞれ対数変換されたデータの母平均と分散を表します。 が対応するランダム変数を表す場合、 となります。 は大気中の鉛濃度の中央値であることに注意してください。 の信頼区間は、 t分布に基づいて通常の方法で構築できます。これにより、大気中の鉛濃度の中央値の信頼区間が得られます。 および が、サイズnの標本に対する対数変換されたデータの標本平均と標準偏差を表す場合、 の95%信頼区間はで与えられます。ここで、 は自由度を持つt分布の分位数を表します。 大気中の鉛濃度の中央値の95%信頼上限を導出することも興味深い場合があります。 のそのような境界は で与えられます。したがって、大気中の鉛の中央値の95%信頼上限は で与えられます。ここで、特定のエリアの大気中の鉛濃度を予測するとします。実験室内で。対数変換された鉛レベルの 95% の上限予測限界は で与えられます。両側予測区間も同様に計算できます。これらの区間の意味と解釈はよく知られています。たとえば、信頼区間が独立したサンプルから繰り返し計算される場合、長期的にはそのように計算された区間の 95% に の真の値が含まれます。言い換えれば、区間はパラメータに関する情報のみを提供することを目的としています。予測区間も同様に解釈され、単一の鉛レベルに関する情報のみを提供することを目的としています。ここで、サンプルを使用して、母集団の鉛レベルの少なくとも 95% がしきい値を下回っているかどうかを結論付けたいとします。信頼区間は鉛レベルの中央値のみを対象とし、予測区間は単一の鉛レベルのみを対象としているため、信頼区間と予測区間ではこの質問に答えることはできません。必要なのは許容区間、より具体的には、許容上限です。上限許容限度は、人口の少なくとも 95% の鉛濃度が限度以下であり、一定の信頼水準、たとえば 99% であるという条件に従って計算されます。${\displaystyle n=15}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \exp(\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle t_{m,1-\alpha }}$${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}}$${\displaystyle {\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}}$${\displaystyle {\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

• エンジニアリング許容範囲
• 安全係数

• Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017)。統計的間隔: 実践者と研究者のためのガイド(第 2 版)。John Wiley & Sons, Incorporated。ISBN 978-0-471-68717-7。

• K. クリシュナムーシー (2009)。統計的許容範囲: 理論、応用、計算。ジョン ワイリー アンド サンズ。ISBN 978-0-470-38026-0。; 第 1 章「準備」は、http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf でご覧いただけます。
• Derek S. Young (2010 年 8 月)。「tolerance:許容範囲を推定するための R パッケージ」。Journal  of Statistical Software。36 ( 5): 1– 39。ISSN 1548-7660。2013年2 月 19 日閲覧。
• ISO 16269-6、データの統計的解釈、パート 6: 統計的許容区間の決定、技術委員会 ISO/TC 69、統計的手法の応用。http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458 で入手可能。