標準アルゴリズム

初等算数において、標準的なアルゴリズムまたは方法とは、特定の数学的問題を解くために慣例的に教えられている特定の計算方法である。これらの方法は国や時代によって多少異なるが、一般的には、標準的な表記法を使用した交換、グループ化、長い除算、長い乗算、平均、面積、体積の標準的な公式などが含まれる。平方根やさらに高度な関数などの手順にも同様の方法が存在するが、計算機（またはそれ以前は表や計算尺）が普及したため、一般的な数学のカリキュラムからは外れている。初等数学の標準的なアルゴリズムに関して、フィッシャーら（2019 ^[1]）は、上級生は標準アルゴリズムを無分別に使用する同級生よりも効果的に使用すると述べている（フィッシャーら^[1] 2019）。とはいえ、加算や減算などの標準的なアルゴリズムや上記のようなアルゴリズムは、初等数学の中心的な要素である。

標準的なアルゴリズムは数字指向で、大部分が右利き（一の位の数字から演算を開始する）であり、ルールに重点を置いています（Charles、^[2] 2020）。以下では、加算、減算、乗算、除算の標準的な算術アルゴリズムについて説明します。

たとえば、標準的な加算アルゴリズムでは、次の 3 つのルールに従って合計を求めることができます。a) 各加数の桁を位の値で並べ、長い桁の加数を上にします。b) 各加数は分解できます。つまり、1 は 1 と加算し、10 は 10 と加算する、というように加算します。c) 現在の位の値の桁の合計が 10 以上の場合は、数字を再グループ化する必要があります。

標準的な減算アルゴリズムでは、最初の数は被減数、2番目の数は減数と呼ばれます。このアルゴリズムのルールでは、数の位の値が揃っている必要があります。次に、再グループ化またはグループ化解除が必要かどうかを評価する必要があります。次に、

各桁の列を別々に扱い、グループ化を解除して減算してから先に進むか、最初にすべてのグループ化解除の可能性をチェックしてから減算をすべて実行します。(Achieve The Core、nd)

整数の標準的な乗算アルゴリズムの主なルールは次のとおりです。この乗算手順では、「被乗数を乗数の各桁で乗算し、適切にシフトされた結果をすべて合計します。 (West、^[3] 2011) この方法を使用するには、0 から 9 までの基本的な乗算表を知っておく必要があります。 (West ^[3] 2011)

他の標準的なアルゴリズムとは異なり、除算アルゴリズムは大きい（左側の）桁の値から開始します（Lee ^[4] 2007）。商（最も近い整数に切り捨て）が結果の最初の桁になります。このプロセスでは、最大桁が仮想積（Leung、^[5] 2006）に近づきます。仮想積は、被除数の先頭の桁の値よりも小さくなければなりません。次に、先頭の桁の値と仮想積、つまり剰余の差は、このプロセスが被除数の次の桁で繰り返されるときに前方に押し出されます（次の桁を剰余まで「引き下げる」）（Leung、^[5] 2006）。すべての桁が処理され、剰余が残っていないか、剰余が除数より小さい場合、除算は完了です。

NCTM が1989年に導入した改革数学の概念は、代替アプローチを支持しています。この概念は、特定の方法を暗記するのではなく、基礎理論をより深く理解することで、生徒が同じ問題を解決する独自の方法を開発できるようにすることを提案しています。生徒の代替アルゴリズムは、多くの場合、標準アルゴリズムと同様に正確で、効率的で、一般化可能であり、特に位取りに関連する量の意味を重視しています (これは、標準アルゴリズムを暗記すると通常失われるもの)。高度な計算機の開発により、手計算の重要性が低下し (上記の平方根に関する注記を参照)、従来の方法をそっと教えることで、多くの生徒が失敗しています。すべてのタイプの生徒の成績向上は、NCTMが掲げる数学教育の主な目標の 1 つです。コンスタンス カミイなどの一部の研究者は、従来教えられている初等算数は小学校では適切ではないと示唆しています。TERCなどの 1989 年の標準に従って書かれた教科書の初版の多くは、意図的に特定の方法を教えないようにし、代わりに授業と宿題の時間を、数の感覚と位取りに基づいた独自の計算方法を開発するよう生徒を刺激する、重要な問題の解決に充てました。この重点は、数の事実の学習を排除するものではありません。実際、初期の数学教育の主な目標は、手続きの流暢さです。

NCTMは最近の改訂版で、基本的な数学の事実と正確で効率的な方法を学ぶ必要性をより明確にしました。標準ベースのテキストの新しい版の多くは、標準的な方法と基本的なスキルを提示しています。しかし、元のガイドラインは、善意の親やコミュニティのメンバーから批判を受け続けており、その中には伝統的な数学への回帰を主張する人もいます。特定のテキストの成功は、その内容だけでなく、学校コミュニティが新しい教育法と内容を受け入れ、推奨される教材の実装に取り​​組む意欲にも左右されます。