分割間隔

位相幾何学において、分割区間または二重矢印空間は、閉区間内の各点を 2 つの隣接する点に分割し、結果として得られる順序付き集合に順序位相を与えることによって得られる位相空間です。これはさまざまな興味深い特性を満たし、一般位相幾何学における有用な反例として役立ちます。

分割区間は、順序位相を備えた辞書式積 として定義できます。^[1]同様に、空間は、通常の順序を持​​つ 閉区間を取り、各点を2つの隣接する点に分割し、結果として得られる線形順序集合に順序位相を与えることによって構築できます。^{[2]空間は、}二重矢印空間、^{[3] [4]}アレクサンドロフ二重矢印空間、または2つの矢印空間 としても知られています。 ${\displaystyle [0,1]\times \{0,1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-}}$

上記の空間は、2つの孤立点と辞書式積を持つ線型順序位相空間です。一部の著者^{[5] [6]}は、2つの孤立点のない同じ空間を定義として採用しています。（点分割の記述では、これは区間の端点とを分割しないことに対応します。）結果として得られる空間は、本質的に同じ特性を持ちます。 ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

二重矢印空間は、辞書式に順序付けられた単位正方形の部分空間です。孤立点を無視すると、二重矢印空間位相の基底は、を満たす形式のすべての集合で構成されます。(点分割の記述では、これらは形式 の閉開区間であり、同時に閉区間と開区間です。) 下側部分空間は、位相の基底として左側の半開区間を持つソルゲンフライ直線に同相であり、上側部分空間は、基底として右側の半開区間を持つソルゲンフライ直線に同相であり、反対方向に進む 2 つの平行矢印のように見えるため、この名前が付けられています。 ${\displaystyle ((a,b]\times \{0\})\cup ([a,b)\times \{1\})}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle [a^{+},b^{-}]=(a^{-},b^{+})}$${\displaystyle (0,1]\times \{0\}}$${\displaystyle [0,1)\times \{1\}}$

分割区間は、ゼロ次元のコンパクトなハウスドルフ空間です。これは、可分ではあるが第二可算ではない、したがって距離化できない線形順序位相空間です。その距離化可能な部分空間はすべて可算です。 ${\displaystyle X}$

これは遺伝的にリンデレーフであり、遺伝的に分離可能で、完全に正規です(T ₆ )。しかし、空間とそれ自身の積は、正規ではないソルゲンフライ平面のコピーを含むため、遺伝的に正規でもありません(T ₅ ) 。 ${\displaystyle X\times X}$

すべてのコンパクトで可分な順序空間は分割区間の部分集合と順序同型である。^[7]

• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト

• Arhangel'skii、AV および Sklyarenko、EG、General Topology II、Springer-Verlag、ニューヨーク (1996) ISBN 978-3-642-77032-6 
• Engelking、Ryszard、『一般トポロジー』、ヘルダーマン出版ベルリン、1989 年。ISBN 3-88538-006-4 
• Fremlin, DH (2003)、測度論、第4巻、Torres Fremlin、ISBN 0-9538129-4-4
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア( 1995) [1978].位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446。