ソレールの定理

数学において、ソレールの定理は、ある種の無限次元ベクトル空間に関する結果である。それは、無限個の正規直交集合を持つ任意の正規モジュラー形式は、実数、複素数、または四元数上のヒルベルト空間であると述べている。^{[ 1 ] [ 2 ]}元々マリア・ピア・ソレールによって証明されたこの結果は、量子論理^{[ 3 ] [ 4 ]}および量子力学の基礎^{[ 5 ] [ 6 ]}にとって重要である。特に、ソレールの定理は、グリーソンの定理を使用して情報理論的公理から量子力学を再導出する取り組みにおけるギャップを埋めるのに役立つ。^{[ 7 ] [ 8 ]}また、ヒルベルト空間のカテゴリのヒューネン-コーネル公理化における重要なステップでもある。^{[ 9 ]}

物理学者のジョン・C・バエズは、

仮定には連続体に関する記述は一切なく、仮説は純粋に代数的なものである。したがって、[ヒルベルト空間が定義される除法環]が実数、複素数、または四元数でなければならないというのは、実に不思議なことのように思える。^{[ 6 ]}

ソレールの最初の発表から10年後に執筆したピトウスキーは、彼女の定理を「称賛されている」と呼んでいる。^{[ 7 ]}

させて${\displaystyle \mathbb {K} }$除法環であるとします。つまり、加算、減算、乗算、除算が可能な環ですが、乗算は可換である必要はありません。この環に共役、すなわち演算があるとします。${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$そのために

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*},\\&(xy)^{*}=y^{*}x^{*}{\text{ (乗算の順序が逆になります)、および }}\\&(x^{*})^{*}=x.\end{aligned}}}$

スカラーを含むベクトル空間Vを考える${\displaystyle \mathbb {K} }$マッピング

${\displaystyle (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle \in \mathbb {K} }$

それは ${\displaystyle \mathbb {K} }$左（または右）エントリに関して線形であり、恒等式を満たす。

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle v,u\rangle ^{*}.}$

これはエルミート形式と呼ばれます。この形式が次の意味で非退化であると仮定します。

$u のすべての値に対して、v が 0 の場合のみ、\displaystyle \langle u,v\rangle =0 となります。$

任意の部分空間Sに対して、${\displaystyle S^{\bot }}$Sの直交補空間とする。 の場合、部分空間を「閉じた」と呼ぶ。 ${\displaystyle S^{\bot \bot }=S.}$

このベクトル空間全体とエルミート形式を、すべての閉部分空間Sに対して次の条件が成り立つ場合に「直交モジュラー」と呼ぶ。${\displaystyle S+S^{\bot }}$は空間全体である。（「直交モジュラー」という用語は量子論理の研究に由来する。量子論理では、不確定性原理のために分配法則は破綻すると考えられており、代わりに「モジュラー法則」、あるいは無限次元ヒルベルト空間の場合は「直交モジュラー法則」が用いられる。^{[ 6 ]}）

ベクトルの集合${\textstyle u_{i}\in V}$が「直交」と呼ばれるのは、$${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$$結果は以下の通りです。

この空間が無限の正規直交系を持つ場合、スカラーの除法環は実数体、複素数体、または四元数環のいずれかになります。