湾曲

少なくとも 1 つの変曲点を持つ連続的に微分可能な曲線の湾曲度、湾曲度指数、または湾曲度係数は、曲線の長さ(曲線に沿った長さ) と曲線の端点間のユークリッド距離(直線) の比です。この無次元量は、曲線の「実際の経路の長さ」を「最短経路の長さ」で割ったものと言い換えることもできます。値の範囲は 1 (直線の場合) から無限大 (閉ループの場合、実際の経路が無限に長い場合は最短経路の長さが 0 になります^[1] ) までです。

曲線は両端の間で連続的（ジャンプなし）でなければなりません。曲線が連続的に微分可能である（角のない）場合、曲線の曲線度の値は非常に重要になります。両端間の距離は、連続する変曲点を通過する破線に従って複数の線分で評価することもできます（次数 2 の曲線度）。

湾曲度の計算は 3 次元空間 (例: 小腸の中心軸)で有効ですが、多くの場合は平面で実行されます (選択したプランで曲線の直交投影が可能。水平面では「標準的な」湾曲度、垂直面では縦方向プロファイル湾曲度)。

湾曲の分類 (強い / 弱いなど) は、多くの場合、曲線の地図作成スケール(詳細については海岸線のパラドックスを参照) と、そこを流れる物体の速度 (川、雪崩、自動車、自転車、ボブスレー、スキーヤー、高速列車など) によって決まります。同じ曲線の湾曲は、高速列車では非常に強いと考えられますが、川では低いと考えられます。ただし、川のいくつかの湾曲部が連続している場合や、山道のひだに非常に強い湾曲が見られる場合もあります。

湾曲度S :

• 同一平面上に位置する2つの反転した連続する半円は です。これは円の半径に依存しません。${\displaystyle S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1.5708...}$
• 正弦関数（半周期の整数n倍）は、それらの周期における正弦曲線の弧長を計算することで計算できます。${\displaystyle S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1.216...}$

同じ平面上の相似な反対の円弧ジョイントで、連続的に微分可能です。

河川の研究では、湾曲度指数は上記の一般的な形式と似ていますが、同一ではなく、次のように表されます。

${\displaystyle {\text{SI}}={\frac {\text{channel length}}{\text{downvalley length}}}}$

一般的な形状との違いは、谷底の流路が完全に直線ではないために生じます。したがって、屈曲度指数は、最大傾斜の方向によって定義される流路からの偏差として説明できます。このため、まっすぐに斜面を流れる岩盤河川の屈曲度指数は 1 であり、蛇行する河川の屈曲度指数は 1 より大きくなります。^[2]

また、線上を流れる水流が物理的に両端間の距離を移動できない場合を区別することも可能です。一部の水理学的研究では、このため、傾斜角が変化しても、水平直線投影に沿って岩盤の上を流れる急流に湾曲度値 1 が割り当てられます。

河川の場合、従来の湾曲度クラス (SI) は次のとおりです。

• SI <1.05: ほぼ直線
• 1.05 ≤ SI <1.25: 巻き
• 1.25 ≤ SI <1.50: ねじれ
• 1.50 ≤ SI: 蛇行

河川の形状は自己組織化システムによって決まり、その平均湾曲度（河川の長さではなく、源流から河口までの距離で測定）はπになるという主張があるが、これはその後の研究では裏付けられておらず、平均値は2未満であることがわかった。^{[4 ]}

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