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幾何学において、分割問題とは、幾何学的図形（多面体や球など）を、同じ内容の新しい図形に再配置できる小さな断片に分割する問題である。この文脈では、分割は単に（1 つの多面体から別の多面体への）分割と呼ばれる。通常、分割では有限個の断片のみを使用することが求められる。さらに、バナッハ-タルスキーのパラドックスやタルスキーの円二乗問題に関連する集合論的問題を回避するために、断片は通常、行儀よく動作することが求められる。たとえば、断片は互いに素な開集合の閉包に制限されることがある。
Bolyai -Gerwien の定理は、任意の多角形は、内部が互いに交わらない多角形ピースを使用して、同じ面積の他の任意の多角形に分割できると述べています。ただし、任意の多面体は、多面体ピースを使用して同じ体積の他の任意の多面体に分割できるというのは真実ではありません ( Dehn 不変量を参照)。ただし、このプロセスは、3 次元の任意の 2 つのハニカム(立方体など) と、任意の次元の等しい体積の任意の 2 つのゾノヘドラに対して可能です。
面積が等しい三角形への分割は等分割と呼ばれます。ほとんどの多角形は等分割できず、等分割できる場合でも三角形の個数に制限がある場合がよくあります。たとえば、モンスキーの定理によれば、正方形の等分割は奇数個存在しないとされています。[1]
参照
参考文献
外部リンク
- デビッド・エップスタイン、「解剖タイリング」。