高さに関するセールの不等式

代数学、特に可換環の理論において、高さに関するセールの不等式は次のように述べている。（ネーター）正則環 Aとその中の素イデアル のペアが与えられたとき、和 上の極小素イデアルである各素イデアルに対して、高さに関する次の不等式が成り立つ。^{[1] [2]}${\displaystyle {\mathfrak {p}}、{\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}}$

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {r}})\leq \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {ht} ({\mathfrak {q}}).}$

正則性の仮定がなければ、不等式は成立しない可能性があります。スキーム理論的交差#適切な交差を参照してください。

セールは、完全な離散値環上の形式的冪級数環に対するセールの重複度予想の妥当性に基づいて、不等式の次の証明を与えている。^[3]

を における局所化 に置き換えることで、 が局所環であると仮定する。すると、不等式は次の不等式と同値になる。有限長を持つ 有限- 加群に対して、${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle (A,{\mathfrak {r}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M,N}$${\displaystyle M\otimes _{A}N}$

${\displaystyle \dim _{A}M+\dim _{A}N\leq \dim A}$

ここで= の台の次元であり、 についても同様です。上記の不等式を示すために、が完全であると仮定できます。次に、コーエンの構造定理により、 と書くことができます。ここで、 は完全離散付値環上の形式的な冪級数環であり、は の非ゼロ元です。ここで、Tor スペクトル列を用いた議論により、 であることが示されます。次に、セールの予想の 1 つによれば となり、今度は主張されている不等式が与えられます。${\displaystyle \dim _{A}M=\dim(A/\operatorname {Ann} _{A}(M))}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \dim _{A}N}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=A_{1}/a_{1}A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle \chi^{A_{1}}(M,N)=0}$${\displaystyle \dim _{A_{1}}M+\dim _{A_{1}}N<\dim A_{1}}$${\displaystyle \square}$

• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• Serre, Jean-Pierre (2000).局所代数. Springer Monographs in Mathematics (ドイツ語). doi :10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8. OCLC  864077388.