不変分解

不変分解 は、ピン群 の元を直交可換元に分解するものである。これは、直交群、擬ユークリッド群、共形群、古典群などの部分群でも成立する。ピン群の元は有向反射の合成であるため、不変分解定理は次のように表される。${\displaystyle {\text{ピン}}(p,q,r)}$${\displaystyle k}$

すべての-反射は交換因子に分解できる。^[1]${\displaystyle k}$${\textstyle \lceil k/2\rceil }$

これらの因子は-反射の不変量であるため、不変分解と呼ばれます。 よく知られている特殊なケースはChasles の定理で、これは、 における任意の剛体運動は、単一の直線の周りの回転と、それに続く、またはその直線に沿った移動に分解できることを述べています。 回転と移動の両方で、回転軸と直交する移動軸の 2 つの線が不変になります。 回転と移動は両方とも二重反射であるため、定理をより抽象的に記述すると、「すべての四重反射は、可換な二重反射に分解できる」となります。 この形式では、この記述は、たとえば時空代数 にも有効であり、そこでは任意のローレンツ変換が可換な回転とブーストに分解できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle R\in {\text{ピン}}(p,q,r)}$${\textstyle {\text{SE}}(3)}$${\textstyle {\text{SO}}(3,1)}$

全次元幾何代数の任意の2ベクトルは、次式を満たす直交可換な単純2ベクトル に分解できる。${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q,r}}$${\displaystyle n=p+q+r}$${\displaystyle k=\lfloor n/2\rfloor }$

$${\displaystyle F=F_{1}+F_{2}\ldots +F_{k}.}$$

を定義すると、それらの特性は（和がない）とまとめられる。そして、 は特性多項式の解として求められる 。${\displaystyle \lambda_{i}:=F_{i}^{2}\in \mathbb{C} }$${\displaystyle F_{i}F_{j}=\delta _{ij}\lambda _{i}+F_{i}\wedge F_{j}}$${\displaystyle F_{i}}$

$${\displaystyle 0=(F_{1}-F_{i})(F_{2}-F_{i})\cdots (F_{k}-F_{i}).}$$

定義

$${\displaystyle W_{m}={\frac {1}{m!}}\langle F^{m}\rangle _{2m}={\frac {1}{m!}}\,\underbrace {F\wedge F\wedge \ldots \wedge F} _{m\ {\text{times}}}}$$そして、解は次のように与えられる。 ${\displaystyle r=\lfloor k/2\rfloor }$

$${\displaystyle F_{i}={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{i}^{r}W_{0}+\lambda _{i}^{r-1}W_{2}+\ldots +W_{k}}{\lambda _{i}^{r-1}W_{1}+\lambda _{i}^{r-2}W_{3}+\ldots +W_{k-1}}}\quad &k{\text{ even}},\\[10mu]{\dfrac {\lambda _{i}^{r}W_{1}+\lambda _{i}^{r-1}W_{3}+\ldots +W_{k}}{\lambda _{i}^{r}W_{0}+\lambda _{i}^{r-1}W_{2}+\ldots +W_{k-1}}}&k{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

の値は、この式を二乗して整理することで得られ、多項式が得られる。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{k}\langle W_{m}^{2}\rangle _{0}(-\lambda _{i})^{k-m}\\[5mu]&=(F_{1}^{2}-\lambda _{i})(F_{2}^{2}-\lambda _{i})\cdots (F_{k}^{2}-\lambda _{i}).\end{aligned}}}$$

の複素数値を許容することで、マルセル・リースの反例を実際に解くことができます。^[1]この不変分解の閉じた形式の解は、代数的重複度が 1 の固有値に対してのみ有効です。 の退化に対しても不変分解は存在しますが、閉じた形式の解を使用して見つけることはできません。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

-反射は次のように書くことができる。ここでは2重ベクトルであり、したがって因数分解が可能になる。 ${\displaystyle 2k}$${\displaystyle R\in {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle R=\exp(F)}$${\displaystyle F\in {\mathfrak {spin}}(p,q,r)}$

$${\displaystyle R=e^{F}=e^{F_{1}}e^{F_{2}}\cdots e^{F_{k}}.}$$

したがって、不変分解は指数の閉じた形式の式を与えます。これは、各指数がスカラーに二乗され、オイラーの公式に従うためです。 ${\displaystyle F_{i}}$

$${\displaystyle R_{i}=e^{F_{i}}={\cosh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}+{\frac {{\sinh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}}{\sqrt {\lambda _{i}}}}F_{i}.}$$

限界を注意深く評価すると、 ${\displaystyle \lambda _{i}\to 0}$

$${\displaystyle R_{i}=e^{F_{i}}=1+F_{i},}$$

そのため翻訳も含まれています。

-反射が与えられたとき、への因数分解を求めます。単純なバイベクトルを定義すると、 ${\displaystyle 2k}$${\displaystyle R\in {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle R_{i}=\exp(F_{i})}$

$${\displaystyle t(F_{i}):={\frac {{\tanh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}}{\sqrt {\lambda _{i}}}}F_{i},}$$

ここで、これらのバイベクトルは、上記のバイベクトルの解法を使用して、 ^[1]を代入することで直接見つけることができます。${\displaystyle \lambda _{i}=F_{i}^{2}}$

$${\displaystyle W_{m}=\langle R\rangle _{2m}{\big /}\langle R\rangle _{0}}$$

ここで はの次数部分を選択します。2重ベクトルが見つかった後、は次のように簡単に見つかります。 ${\displaystyle \langle R\rangle _{2m}}$${\displaystyle 2m}$${\displaystyle R}$${\displaystyle t(F_{i})}$${\displaystyle R_{i}}$

$${\displaystyle R_{i}={\frac {1+t(F_{i})}{\sqrt {1-t(F_{i})^{2}}}}.}$$

を分解すると、各単純回転子の主対数は次のように表される。 ${\displaystyle R\in {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle R_{i}=\exp(F_{i})}$

$${\displaystyle F_{i}={\text{Log}}(R_{i})={\begin{cases}{\dfrac {\langle R_{i}\rangle _{2}}{\textstyle {\sqrt {\langle R_{i}\rangle {\vphantom {)}}_{2}^{2}}}}}\;{\text{arccosh}}(\langle R_{i}\rangle )\quad &\lambda _{i}^{2}\neq 0,\\[5mu]\langle R_{i}\rangle _{2}&\lambda _{i}^{2}=0.\end{cases}}}$$

そして の対数は次のように与えられる。 ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\text{Log}}(R)=\sum _{i=1}^{k}{\text{Log}}(R_{i}).}$$

これまでは、 -反射であるの要素のみを検討してきました。不変分解を -反射に拡張するには、ベクトル部分がすでに -反射 と交換可能で、かつ-反射に直交する反射であることを利用します。すると、問題は上記の方法を使用して の分解を見つけることに帰着します。${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle (2k+1)}$${\displaystyle P\in {\text{Pin}}(p,q,r)}$${\displaystyle r=\langle P\rangle _{1}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle R=r^{-1}P=Pr^{-1}}$${\displaystyle R}$

双ベクトルは対応するベクトルと可換なので不変であり、したがって群共役の下では ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle R\in {\text{Spin}}(p,q,r)}$

$${\displaystyle RF_{i}R^{-1}=F_{i}.}$$

序論で示したChasles の定理の例に戻ると、3D でのらせん運動では、回転軸と水平線上の直交移動軸に対応する 2 つの線とが不変になります。空間全体がらせん運動をしても、この 2 つの軸は変化しません。 ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

不変分解は、マルセル・リースが双ベクトルについて 述べた次の言葉に由来する：^[2]

任意のバイベクトルは、相互に直交する単純なバイベクトルの直和に分解できますか?${\displaystyle F}$

数学的には、これは、次元幾何代数における与えられた2重ベクトルに対して、 となるような2重ベクトルの最大値を見つけることが可能であるべきであり、ここで は を満たし 、 はスカラー の2乗になるべきである、ということを意味します。Marcel Rieszは、この予想につながるいくつかの例を示しましたが、1つの（一見）反例も示しました。幾何代数におけるこの予想に対する最初のより一般的な解は、David Hestenesと Garret Sobczyckによって示されました。 ^[3]しかし、この解は純粋にユークリッド空間に限定されていました。2011年に、(3DCGA) の解はLeo Dorst と Robert Jan Valkenburg によって発表され、ローレンツ署名における最初の解となりました。^[4]また、2011年に、Charles Gunn は退化した計量 における解を初めて示しました。^[5]これにより、原理が計量に依存しない可能性があるという最初の兆候が示されました。その後、2021年にマーティン・ロエルフスが博士論文で計量と次元に依存しない完全な閉形式の解を与えた。^[6]また、幾何代数の双ベクトルはリー代数 を形成するため、この論文は、これを用いて群の要素をそれぞれオイラーの公式に従う直交可換因子に分解し、これらの群の閉形式の指数関数と対数関数を提示した初めての論文でもあった。その後、マーティン・ロエルフスとスティーブン・デ・ケニンクの論文では、不変分解がだけでなくの要素を含むように拡張され、を経由せずにの要素を直接分解できることがわかった。^[1]${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\textstyle k=\lfloor n/2\rfloor }$${\displaystyle F_{i}}$${\textstyle F=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }F_{i}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}\cdot F_{j}=[F_{i},F_{j}]=0}$${\displaystyle \lambda _{i}:=F_{i}^{2}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{n,0,0}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{4,1,0}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q,r}}$${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle {\text{Pin}}(p,q,r)}$${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q,r)}$${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(p,q,r)}$