ルンゲ・クッタ法（確率微分方程式）

確率システムの数学において、ルンゲ・クッタ法は確率微分方程式の近似数値解法です。これは、常微分方程式に対するルンゲ・クッタ法を確率微分方程式（SDE）に一般化したものです。重要な点として、この方法ではSDEの係数関数の導関数を知る必要がありません。

伊藤拡散について考えてみよう${\displaystyle X}$以下の伊藤確率微分方程式を満たす $${\displaystyle dX_{t}=a(X_{t})\,dt+b(X_{t})\,dW_{t},}$$初期条件 付き${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$、 どこ${\displaystyle W_{t}}$はウィーナー過程を表し、ある時間間隔でこの確率微分方程式を解きたいと仮定します。${\displaystyle [0,T]}$すると、真の解に対する基本的なルンゲ・クッタ近似が得られる。${\displaystyle X}$マルコフ連鎖${\displaystyle Y}$以下のように定義される：^{[ 1 ]}

• 区間を分割する${\displaystyle [0,T]}$の中へ${\displaystyle N}$ 幅の小区間${\displaystyle \delta =T/N>0}$:$${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T;}$$
• セット${\displaystyle Y_{0}:=x_{0}}$;
• 再帰的に計算する${\displaystyle Y_{n}}$のために${\displaystyle 1\leq n\leq N}$による$${\displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}\left(b({\hat {\Upsilon }}_{n})-b(Y_{n})\right)\left((\Delta W_{n})^{2}-\delta \right)\delta ^{-1/2},}$$どこ${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$そして${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{n}=Y_{n}+a(Y_{n})\delta +b(Y_{n})\delta ^{1/2}.}$

ランダム変数${\displaystyle \Delta W_{n}}$は、期待値がゼロで分散がゼロの、独立かつ同一の分布に従う正規確率変数です。${\displaystyle \delta }$。

このスキームは強い次数1を持ち、これは固定時間における実際の解の近似誤差が時間ステップに比例することを意味します。${\displaystyle \delta }$また、弱次数1を持ち、これは解の統計における誤差が時間ステップに比例することを意味します。${\displaystyle \delta }$完全かつ正確な記述については、参考文献を参照してください。

機能${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$時間変化も問題なく扱える。この方法は、複数の連立方程式の場合にも一般化できる。原理は同じだが、方程式の数は増える。

より新しい、次数1の強ルンゲ・クッタ法は、決定論的常微分方程式に対する改良オイラー法に直接帰着する。^{[ 2 ]} ベクトル確率過程を考える${\displaystyle {\vec {X}}(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$これは一般的な伊藤SDEを満たす。 $${\displaystyle d{\vec {X}}={\vec {a}}(t,{\vec {X}})\,dt+{\vec {b}}(t,{\vec {X}})\,dW,}$$ ドリフト${\displaystyle {\vec {a}}}$変動性${\displaystyle {\vec {b}}}$は引数の十分滑らかな関数である。与えられた時間ステップ。${\displaystyle h}$、そしてその値${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k})={\vec {X}}_{k}}$、見積もり${\displaystyle {\vec {X}}(t_{k+1})}$による${\displaystyle {\vec {X}}_{k+1}}$時間のために${\displaystyle t_{k+1}=t_{k}+h}$経由 $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\vec {K}}_{1}=h{\vec {a}}(t_{k},{\vec {X}}_{k})+(\Delta W_{k}-S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k},{\vec {X}}_{k}),\\{\vec {K}}_{2}=h{\vec {a}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1})+(\Delta W_{k}+S_{k}{\sqrt {h}}){\vec {b}}(t_{k+1},{\vec {X}}_{k}+{\vec {K}}_{1}),\\{\vec {X}}_{k+1}={\vec {X}}_{k}+{\frac {1}{2}}({\vec {K}}_{1}+{\vec {K}}_{2}),\end{array}}}$$

• どこ${\displaystyle \Delta W_{k}={\sqrt {h}}Z_{k}}$通常のランダム${\displaystyle Z_{k}\sim N(0,1)}$;
• そしてどこで${\displaystyle S_{k}=\pm 1}$それぞれの選択肢は確率で選ばれる${\displaystyle 1/2}$。

上記は1つの時間ステップのみを説明しています。この時間ステップを繰り返してください。${\displaystyle (t_{m}-t_{0})/h}$時間からSDEを積分するために、${\displaystyle t=t_{0}}$に${\displaystyle t=t_{m}}$。

このスキームはストラトノビッチSDEを統合し、${\displaystyle O(h)}$1セット提供${\displaystyle S_{k}=0}$全体を通して（選択する代わりに）${\displaystyle \pm 1}$)

高次のスキームも存在するが、ますます複雑になる。Rößler は Ito SDE 用の多くのスキームを開発したが、^{[ 3 ] [ 4 ]} Komori は Stratonovich SDE 用のスキームを開発した。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Rackauckas はこれらのスキームを拡張し、メモリ付き棄却サンプリング(RSwM)による適応時間ステップを可能にし、実用的な生物学的モデルで桁違いの効率向上をもたらし、^{[ 8 ]}係数最適化による安定性の向上も実現した。^{[ 9 ]}