回転振動カップリング

物理学では、回転振動結合^[1]は、システムの回転周波数が内部振動の固有周波数に近いか同一の場合に発生します。右のアニメーションは、バネによって及ぼされる力と回転中心からの距離が摩擦なしで一緒に直線的に増加する理想的な動きを示しています。

回転振動結合では、角速度が振動します。回転する質量を互いに引き寄せることで、バネは蓄積されたひずみエネルギーを回転する質量の運動エネルギーに変換し、角速度を増加させます。バネの引力は回転する質量が近づくにつれて弱まるため、バネは回転する質量を近づけることはできません。ある時点で、回転する質量の増加する角速度がバネの引力を上回り、回転する質量はますます離れていきます。これによりバネのひずみが増し、引力が強くなり、回転する質量は運動エネルギーをバネのひずみエネルギーに変換し、回転する質量の角速度を低下させます。ある時点で、バネの引力が回転する質量の角速度を上回り、サイクルが再開されます。

ヘリコプターの設計では、特定の角速度ではローターブレードの振動が回転振動結合によって増強され、壊滅的に増大する可能性があるため、減衰装置を組み込む必要があります。減衰装置がなければ、これらの振動によってローターブレードが外れてしまいます。

右のアニメーションは、角速度の振動をより明確に示しています。調和振動との類似点が見られます。

調和振動が中点にあるとき、システムのすべてのエネルギーは運動エネルギーです。調和振動が中点から最も遠い点にあるとき、システムのすべてのエネルギーは位置エネルギーです。システムのエネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの間を行ったり来たりして振動しています。

2 つの回転する質量があるアニメーションでは、運動エネルギーと位置エネルギーが前後に振動しています。バネが最大に伸びているときに位置エネルギーが最大になり、角速度が最大になると運動エネルギーが最大になります。

実際のバネには摩擦が伴います。実際のバネでは振動が減衰され、最終的にはバネの張力が一定のまま、質量が一定の距離で互いに回転する状態になります。

この議論では、次のような単純化を適用します。バネ自体は無重力であり、バネは完全なバネであるとみなされます。バネが伸びるにつれて復元力は直線的に増加します。つまり、復元力は回転中心からの距離に正確に比例します。この特性を持つ復元力は調和力と呼ばれます。

時間の関数としての位置の次のパラメトリック方程式は、回転する質量の動きを表します。

どこ

• ${\displaystyle a}$長半径
• ${\displaystyle b}$短半径
• ${\displaystyle \omega}$360°を1回転の長さで割った値

時間の関数としての運動は、2つの等速円運動のベクトルの組み合わせとして見ることもできる。パラメトリック方程式（1）と（2）は次のように書き直すことができる。

$${\displaystyle x=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos(\omega t)+\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\cos(\omega t)}$$

$${\displaystyle y=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\sin(\omega t)-\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\sin(\omega t)}$$

全体の円運動を減算する座標系への変換により、楕円形の軌道の偏心は残ります。偏心の中心は、主中心からの距離に位置します。 ${\displaystyle (a+b)/2}$

$${\displaystyle x=\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\cos(2\omega t)}$$

$${\displaystyle y=-\left({\tfrac {ab}{2}}\right)\sin(2\omega t)}$$

2 番目のアニメーションでは、実際にそれが見られます。このアニメーションでは、一定の角速度で回転する座標系に動きがマッピングされています。回転座標系に対する動きの角速度は 2ω で、これは全体の動きの角速度の 2 倍です。バネは継続的に仕事をしています。より正確には、バネは正の仕事 (重りの運動エネルギーの増加) と負の仕事 (重りの運動エネルギーの減少) の間で振動しています。

向心力は調和力です。

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\ C\mathbf {r} }$$

上記の運動方程式のすべての解の集合は、円軌道と楕円軌道の両方から構成されます。すべての解の回転周期は同じです。これは調和力の影響下にある運動の際立った特徴であり、すべての軌道は回転を完了するのに同じ時間がかかります。

回転座標系を使用する場合、遠心項とコリオリ項が運動方程式に追加されます。次の式は、慣性運動する物体の回転系に対する加速度を示します。

$${\displaystyle a\ =\ \Omega ^{2}\mathbf {r} \ +\ 2({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )}$$

ここで、Ω は慣性座標系に対する回転座標系の角速度です。vは回転座標系に対する移動物体の速度です。遠心項は回転座標系の角速度によって決まり、遠心項は物体の動きとは関係がないことに留意することが重要です。

全体として、これは角速度Ωで回転する座標系に関する運動の運動方程式に次の 3 つの項を与えます。

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\ C\mathbf {r} +m\Omega ^{2}\mathbf {r} +2m({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )}$$

運動方程式の向心力と遠心項は両方ともrに比例します。回転座標系の角速度は、楕円形の軌道をたどる物体と同じ回転周期になるように調整されます。したがって、向心力のベクトルと遠心項のベクトルは、中心からのあらゆる距離で大きさが等しく方向が反対になり、これら 2 つの項は互いに減少します。
回転中心からの距離ごとに向心力のベクトルと遠心項が互いに減少するのは、非常に特殊な状況のみです。これは、向心力が調和力である場合に限ります。
この場合、運動方程式にはコリオリの項だけが残ります。

$${\displaystyle \mathbf {F} =2m({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )}$$

コリオリ項のベクトルは、回転座標系に対して常に速度に垂直を向いているため、復元力が調和力である場合、軌道の偏心は回転座標系に対して小さな円運動として現れます。コリオリ項の係数 2 は、全体の運動周期の半分の回転周期に相当します。

予想どおり、ベクトル表記を使用した分析では、前の分析がそのまま確認されます。つまり
、バネは継続的に作業を行っています。より正確には、バネは正の作業 (重りの運動エネルギーの増加) と負の作業 (重りの運動エネルギーの減少) の間で振動しています。

前の「エネルギー変換」というタイトルのセクションでは、エネルギー変換を追跡することでダイナミクスを追っています。収縮時の角速度の増加は、角運動量保存の原理に従います。回転する重りに作用するトルクがないため、角運動量は保存されます。ただし、これは、伸びたバネの力と、バネの収縮および伸長中に行われた仕事という因果メカニズムを無視しています。同様に、大砲が発射されると、運動量保存の原理に従って、発射体は砲身から標的に向かって発射され、砲身は反動します。これは、砲身が反動するため、発射体が高速で砲身から出ることを意味するものではありません。ニュートンの第3法則で説明されているように、砲身の反動は必ず発生しますが、原因ではありません。

原因となるメカニズムはエネルギー変換にあります。火薬の爆発により、潜在的な化学エネルギーが高度に圧縮されたガスの潜在エネルギーに変換されます。ガスが膨張すると、その高圧が発射体と銃身内部の両方に力を加えます。その力の作用により、潜在エネルギーが発射体と銃身の両方の運動エネルギーに変換されます。

回転振動結合の場合、原因となるのはバネによって発揮される力です。バネは、仕事と負の仕事の間で振動しています。(力の方向が運動の方向と反対の場合、仕事は負であるとみなされます。)

• 回転振動分光法