リスク優位

リスク優位性とペイオフ優位性は、ジョン・ハーサニとラインハルト・ゼルテンによって定義されたゲーム理論におけるナッシュ均衡(NE)解の概念の2つの関連する改良です^。ナッシュ均衡は、ゲーム内の他のすべてのナッシュ均衡よりもパレート優れている場合、ペイオフ優位性があると見なされます。1 均衡の選択に直面した場合、すべてのプレーヤーは、他のナッシュ均衡と少なくとも同じだけのペイオフを各プレーヤーに提供するペイオフ優位性均衡に同意するでしょう。逆に、ナッシュ均衡は、最大の吸引域を持つ (つまりリスクが低い) 場合、リスク優位性があると見なされます。これは、プレーヤーが他のプレーヤーの行動についてより多くの不確実性を持つほど、それに対応する戦略を選択する可能性が高くなることを意味します。

図 1 のペイオフマトリックスは、 2 つの純粋ナッシュ均衡を持つゲームの単純な 2 人のプレーヤー、2 つの戦略の例を示しています。戦略ペア (Hunt, Hunt) は、もう 1 つの純粋 NE (Gather, Gather) と比較して両方のプレーヤーのペイオフが高いため、ペイオフが優位です。一方、(Gather, Gather) は、他のプレーヤーのアクションについて不確実性がある場合、収集により期待されるペイオフが高くなるため、(Hunt, Hunt) ではリスクが優位です。図 1 のゲームは、スタッグ ハントと呼ばれるよく知られたゲーム理論的ジレンマです。その背後にある理論的根拠は、すべてのプレーヤーがスキルを組み合わせると共同アクション (狩猟) でより高いリターンが得られるが、他のプレーヤーが狩猟を手伝うかどうか不明な場合は、収集が他のプレーヤーとの調整に依存しないため、食料供給のためのより良い個人戦略になる可能性があるというものです。さらに、単独で収集する方が、他の人と競争して収集するよりも好まれます。囚人のジレンマと同様に、これは信頼できるコミットメントがない場合に集団行動が失敗する可能性がある理由を示しています。

図 2 のゲームは、プレイヤー 1 (行) について次の利得不等式が成り立つ場合、調整ゲームです。A > B、D > C、プレイヤー 2 (列) について次の利得不等式が成り立つ場合、調整ゲームです。(H、H) と (G、G) の戦略ペアが、純粋なナッシュ均衡のみです。さらに、プレイヤー 1 が確率 p = (dc)/(ab-c+d) で H をプレイし、確率 1-p で G をプレイし、プレイヤー 2 が確率 q = (DC)/(AB-C+D) で H をプレイし、確率 1-q で G をプレイするという混合ナッシュ均衡もあります。

A ≥ D、a ≥ d であり、2 つのうち少なくとも 1 つが厳密な不等式 (A > D または a > d) である場合、戦略ペア (H、H)の報酬が(G、G) より優先されます。

戦略ペア (G, G) のリスクが(H, H) より優位となるのは、逸脱損失の積が (G, G) のほうが高い場合です (Harsanyi and Selten, 1988, Lemma 5.4.4)。言い換えれば、次の不等式が成り立つ場合です: (C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a)。不等式が厳密な場合、(G, G) のリスクが (H, H) より優位となります。2 ⁽つまり、プレイヤーは逸脱するインセンティブが高くなります)。

ゲームが対称的である場合、つまり A = a、B = b などである場合、不等式は簡単に解釈できます。つまり、プレイヤーは相手がどの戦略を選択するか不明であると仮定し、各戦略の確率を割り当てます。各プレイヤーが H と G にそれぞれ ½ の確率を割り当てると、G をプレイすることで期待される利益が H をプレイすることで期待される利益を上回る場合、(G、G) リスクが (H、H) を支配します。½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ C、または単にB + D ≥ A + C です。

リスク優位均衡を計算する別の方法は、すべての均衡のリスク係数を計算し、リスク係数が最小の均衡を見つけることです。2x2 ゲームのリスク係数を計算するには、プレーヤーが H をプレイする場合の期待されるペイオフ( pは他のプレーヤーが H をプレイする確率) を考慮し、それを G をプレイする場合の期待されるペイオフと比較します。これら 2 つの期待値が等しくなるpの値が均衡 (H, H) のリスク係数であり、(G, G) をプレイする場合のリスク係数です。同じ計算で、p を他のプレーヤーが G をプレイする確率に設定することにより、(G, G) をプレイする場合のリスク係数を計算することもできます。p の解釈は、対戦相手がその戦略をプレイしなければならない最小の確率であり、対戦相手の戦略をコピーすることによる自分のペイオフが、他の戦略をプレイした場合よりも大きくなるということです。 ${\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C}$${\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D}$${\displaystyle 1-p}$

多くの進化的アプローチにより、大規模な集団でプレイすると、プレイヤーはペイオフ優位均衡戦略を実行できず、代わりにペイオフが優位でリスクが優位な均衡に陥る可能性があることが立証されています。2 つの異なる進化モデルは、リスク優位均衡が発生する可能性が高いという考えを支持しています。レプリケータ ダイナミクスに基づく最初のモデルは、集団がペイオフ優位均衡よりもリスク優位均衡を採用する可能性が高いと予測します。最善の応答戦略の修正と突然変異に基づく 2 番目のモデルは、リスク優位状態が唯一の確率的に安定した均衡であると予測します。両方のモデルでは、N 人のプレイヤーの集団で複数の 2 人用ゲームがプレイされることを前提としています。プレイヤーは対戦相手とランダムにマッチングされ、各プレイヤーは他の N−1 人のプレイヤーのいずれかと対戦する可能性が等しくなります。プレイヤーは純粋戦略 G または H から開始し、対戦相手に対してこの戦略を実行します。レプリケータダイナミクスでは、集団ゲームは、選択した戦略の成功に基づいてサブポピュレーションが変化する連続世代で繰り返されます。最善の対応では、プレーヤーは戦略を更新して、次の世代で期待される利益を改善します。Kandori、Mailath、Rob (1993) および Young (1993) の認識は、戦略を更新するルールが突然変異を許容し^、突然変異の確率が消える、つまり時間の経過とともに漸近的にゼロに達する場合、リスク優位の均衡に到達する可能性は、利益優位であっても 1 になるというものでした^。3

• ^1 単一のナッシュ均衡は、それがゲーム内の唯一の NE である場合、明らかにペイオフとリスクが優位です。
• ^2 ここでのほとんどの定義には厳密と弱の同様の区別が存在しますが、必要な場合を除いて明示的に示されていません。
• ^3 HarsanyiとSelten（1988）は、鹿狩りゲームでは報酬優位の均衡が合理的な選択であると提案したが、Harsanyi（1995）はこの結論を撤回し、リスク優位を関連する選択基準とした。

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