環の補題

ユークリッド平面上の円充填の幾何学において、環の補題は円充填における隣接する円の大きさの下限を与える。 ^[1]

声明

補題は次のように述べられている。を 3 以上の任意の整数とする。単位円が、すべてそれに接する内部分離円の環に囲まれており、環内の連続する円は互いに接していると仮定する。すると、環内の任意の円の最小半径は、少なくとも単位分数であり、は番目のフィボナッチ数である。^[1]^[2] $n$ $n$ ${\frac {1}{F_{2n-3}-1}}$ $F_{i}$ $i$

最小半径の順序は、から始まり、 $n=3$

{\textstyle \displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{12}},{\frac {1}{33}},{\frac {1}{88}} ,{\frac {1}{232}},\ドット }

（OEISの配列A027941）

3次元空間への一般化も知られている。^[3]

工事

無限の円列を構成することができ、各円は環の補題の境界と正確に一致し、補題がタイトであることを示す。この構成により、半平面を無限半径の退化した円と見なすことができ、補題の記述で要求される以上の円間の追加の接線が含まれる。これは、単位円を 2 つの平行な半平面で挟むことから始まります。円の幾何学では、これらは無限遠点で互いに接していると見なされます。これらの最初の 2 つの後の各円は、中央の単位円と最後に追加された 2 つの円に接します。この方法で構成された最初の 6 つの円 (2 つの半平面を含む) については、図を参照してください。この構成の最初の円は環を形成し、その最小半径はデカルトの定理によって計算され、環の補題で指定された半径と同じになります。この構成は、追加の接線なしで有限円のリングに変化させることができ、その最小半径はこの境界に任意に近い。^[4] $n$ $n$ $n$

歴史

より弱い境界を持つ環の補題のバージョンは、円充填が等角写像を近似するために使用できるというウィリアム・サーストンの予想の証明の一部として、バートン・ロディンとデニス・サリバンによって初めて証明されました。^[5]ローウェル・ハンセンは可能な限り最も厳しい下限の再帰関係を与え、 ^[6]ドヴ・アハロノフは同じ境界の閉じた形式の表現を見つけました。 ^[2]

アプリケーション

等角写像への本来の応用を超えて、^[5]円充填定理と環補題は、制限された次数の平面グラフが制限された傾き数で描画できることを Keszegh、Pach、Pálvölgyi が証明する際に重要な役割を果たします。^[7]

参考文献

^ ab スティーブンソン、ケネス（2005）、サークルパッキング入門：離散解析関数の理論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82356-2、MR 2131318特に、補題8.2（環の補題）p.73-74と付録B「環の補題」p.318-321を参照。
^ ab Aharonov, Dov (1997)、「環補題における鋭い定数」、複素変数、33 (1–4): 27–31、doi :10.1080/17476939708815009、MR 1624890
^ Vasilis、Jonatan (2011)、「三次元の環補題」、Geometriae Dedicata、152 : 51–62、doi :10.1007/s10711-010-9545-0、MR 2795235、S2CID 120113578
^ アハロノフ、D.; スティーブンソン、K. (1997)、「アポロニアンパッキングにおけるディスクの幾何学的シーケンス」、代数 i 分析、9 (3): 104–140、MR 1466797
^ ab ロダン、バート;サリバン、デニス(1987)、「円パッキングのリーマン写像への収束」、微分幾何学ジャーナル、26 (2): 349–360、doi : 10.4310/jdg/1214441375、MR 0906396
^ ハンセン、ローウェル J. (1988)、「ロダンとサリバンの環の補題について」、複素変数、10 (1): 23–30、doi :10.1080/17476938808814284、MR 0946096
^ ケシェグ、バラーズ; Pach, ヤーノス; Pálvölgyi、Dömötör (2011)、「傾斜がほとんどない境界次数の平面グラフの描画」、Brandes、Ulrik ; Cornelsen、Sabine (編)、Graph Drawing: 18th International Symposium、GD 2010、コンスタンツ、ドイツ、2010 年 9 月 21 ～ 24 日、改訂された厳選論文、コンピュータサイエンスの講義ノート、vol. 6502、ハイデルベルク: Springer、pp. 293–304、arXiv : 1009.1315、doi :10.1007/978-3-642-18469-7_27、ISBN 978-3-642-18468-0、MR 2781274

[s-1] スティーブンソン、ケネス（2005）、サークルパッキング入門：離散解析関数の理論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82356-2、MR 2131318特に、補題8.2（環の補題）p.73-74と付録B「環の補題」p.318-321を参照。

[a-2] Aharonov, Dov (1997)、「環補題における鋭い定数」、複素変数、33 (1–4): 27–31、doi :10.1080/17476939708815009、MR 1624890

[v-3] Vasilis、Jonatan (2011)、「三次元の環補題」、Geometriae Dedicata、152 : 51–62、doi :10.1007/s10711-010-9545-0、MR 2795235、S2CID 120113578

[as-4] アハロノフ、D.; スティーブンソン、K. (1997)、「アポロニアンパッキングにおけるディスクの幾何学的シーケンス」、代数 i 分析、9 (3): 104–140、MR 1466797

[rs-5] ロダン、バート;サリバン、デニス(1987)、「円パッキングのリーマン写像への収束」、微分幾何学ジャーナル、26 (2): 349–360、doi : 10.4310/jdg/1214441375、MR 0906396

[h-6] ハンセン、ローウェル J. (1988)、「ロダンとサリバンの環の補題について」、複素変数、10 (1): 23–30、doi :10.1080/17476938808814284、MR 0946096

[kpp-7] ケシェグ、バラーズ; Pach, ヤーノス; Pálvölgyi、Dömötör (2011)、「傾斜がほとんどない境界次数の平面グラフの描画」、Brandes、Ulrik ; Cornelsen、Sabine (編)、Graph Drawing: 18th International Symposium、GD 2010、コンスタンツ、ドイツ、2010 年 9 月 21 ～ 24 日、改訂された厳選論文、コンピュータサイエンスの講義ノート、vol. 6502、ハイデルベルク: Springer、pp. 293–304、arXiv : 1009.1315、doi :10.1007/978-3-642-18469-7_27、ISBN 978-3-642-18468-0、MR 2781274