レイノルズ方​​程式

流体力学（特に潤滑理論）において、レイノルズ方​​程式は薄い粘性流体膜の圧力分布を支配する偏微分方程式である。これは1886年にオズボーン・レイノルズによって初めて導かれた。^{[1]古典的なレイノルズ方​​程式は、ほぼすべてのタイプの}流体膜軸受（境界物体が液体またはガスの薄い層によって完全に分離されている軸受タイプ）の圧力 分布を説明するために使用できる。

一般的なレイノルズ方​​程式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle p}$流体膜圧力です。
• ${\displaystyle x}$およびはベアリングの幅と長さの座標です。${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle z}$流体膜厚座標です。
• ${\displaystyle h}$流体の膜厚です。
• ${\displaystyle \mu}$流体の粘度です。
• ${\displaystyle \rho}$流体の密度です。
• ${\displaystyle u,v,w}$それぞれ境界物体の速度です。${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle a,b}$それぞれ上部と下部の境界ボディを示す下付き文字です。

この方程式は、一貫した単位で使用することも、無次元化して使用することもできます。

レイノルズ方​​程式では以下を仮定します。

• 流体はニュートン流体です。
• 流体の粘性力は流体の慣性力よりも優位です。これがレイノルズ数の原理です。
• 流体力は無視できるほど小さい。
• 流体膜を横切る圧力の変化は無視できるほど小さい（すなわち）${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=0}$
• 流体の膜厚は幅や長さよりもはるかに小さいため、曲率の影響は無視できます。(つまり、および)。${\displaystyle h\lll}$${\displaystyle h\llw}$

いくつかの単純なベアリング形状と境界条件では、レイノルズ方​​程式を解析的に解くことができます。ただし、多くの場合、方程式は数値的に解く必要があります。多くの場合、これには形状領域を離散化し、有限手法 (多くの場合、 FDM、FVM、またはFEM )を適用する必要があります。

ナビエ・ストークス方程式からレイノルズ方​​程式を完全に導出する方法は、多くの潤滑に関する教科書に記載されています。^{[2] [3]}

一般的に、レイノルズ方​​程式は有限差分法や有限要素法などの数値的手法を用いて解く必要があります。しかし、特定の単純化されたケースでは、解析的または近似的な解を得ることができます。^[4]

平面形状上の剛体球の場合、定常状態の場合、および半ゾンマーフェルトキャビテーション境界条件の場合、2 次元レイノルズ方​​程式を解析的に解くことができます。この解法は、ノーベル賞受賞者のPyotr Kapitsaによって提案されました。半ゾンマーフェルト境界条件は不正確であることが示されており、この解法は注意して使用する必要があります。

1次元レイノルズ方​​程式の場合、いくつかの解析的または半解析的な解法が利用可能です。1916年にマーティンは、剛体円筒と平面形状の最小膜厚と圧力の閉じた形の解法^[5]を得ました。この解法は、表面の弾性変形が膜厚に大きく影響する場合には正確ではありません。1949年にグルビンは、弾性変形と潤滑油の流体力学的流れを組み合わせた、いわゆる弾性流体潤滑（EHL）線接触問題の近似解^{[6]を得ました。この解法では、圧力プロファイルが}ヘルツ解に従うと仮定されました。したがって、このモデルは、流体圧力がヘルツ接触圧力に近づく傾向がある高負荷でも正確です。^[7]

レイノルズ方​​程式は、多くのアプリケーションで圧力をモデル化するために使用されます。例:

• ボールベアリング
• エアベアリング
• ジャーナルベアリング
• 航空機ガスタービンのスクイーズフィルムダンパー
• 人間の股関節と膝関節
• 潤滑されたギア接点

1978 年に Patir と Cheng は平均フロー モデル^{[8] [9]を導入しました。これは、レイノルズ方​​程式を修正して、}表面粗さが潤滑接触に与える影響を考慮したモデルです。平均フロー モデルは、表面が互いに接近したり接触したりする潤滑状態をカバーします。平均フロー モデルは、「フロー係数」を適用して、潤滑剤が滑り方向または滑り方向に対して垂直に流れる容易さを調整します。また、接触せん断計算を調整するための用語も提示しました。これらの状態では、表面トポグラフィーが潤滑剤の流れを方向付ける役割を果たし、潤滑剤の圧力、ひいては表面分離と接触摩擦に影響を与えることが実証されています。^[10]

接触における流体膜のシミュレーションにおいて、接触の追加の詳細を考慮に入れるための注目すべき試みがいくつかなされてきた。Leighton ら^{[10] は、}任意の測定表面から平均フロー モデルに必要なフロー係数を決定する方法を提示した。Harp と Salent ^{[11] は、}アスペリティ間のキャビテーションを考慮して平均フロー モデルを拡張した。Chengwei と Linqing ^{[12] は、}表面高さの確率分布の解析を使用して、平均レイノルズ方​​程式から複雑な項の 1 つを削除し、接触フロー係数と呼ばれるフロー係数に置き換えた。Knoll らは、表面の弾性変形を考慮してフロー係数を計算した。Meng ら^[13]も接触表面の弾性変形を考慮した。 ${\displaystyle d{\bar {h_{T}}}/dh}$${\displaystyle \phi_{h}}$

パティルとチェンの研究は、潤滑接触面における表面テクスチャリングの研究の先駆けとなった。大規模な表面構造が微小流体力学的揚力を発生させ、膜を分離して摩擦を減らす仕組みを実証したが、これは接触条件がこれをサポートする場合に限られる。^[14]

PatirとChengの平均流動モデル^{[8] [9]}は、荷重接触における粗面の相互作用をモデル化するために、GreenwoodとTrippの粗面相互作用モデル^[15]と組み合わせられることが多い。 ^{[10] [16]}