レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式

レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式（RANS方程式）は、流体の流れ に関する時間平均^[a]方程式です。方程式の背後にある考え方はレイノルズ分解であり、瞬間的な量が時間平均量と変動量に分解されるという、オズボーン・レイノルズによって最初に提唱された考え方です。^[1] RANS方程式は主に乱流を記述するために使用されます。これらの方程式は、流れの乱流の特性に関する知識に基づく近似とともに使用して、ナビエ・ストークス方程式のおおよその時間平均解を得ることができます。非圧縮性ニュートン流体の定常流の場合、これらの方程式は、直交座標のアインシュタイン表記で次のように表すことができます。 $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

この式の左辺は、平均流の不安定性と平均流による対流による流体要素の平均運動量の変化を表しています。この変化は、平均体積力、平均圧力場による等方性応力、粘性応力、および変動速度場による見かけの応力（一般にレイノルズ応力と呼ばれます）によってバランスが取られます。この非線形レイノルズ応力項は、RANS 方程式を解くために追加のモデリングを必要とし、さまざまな乱流モデルの作成につながっています。時間平均演算子はレイノルズ演算子です。 ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$${\displaystyle {\overline {.}}}$

瞬間ナビエ・ストークス方程式からRANS方程式を導出するために必要な基本的なツールは、レイノルズ分解です。レイノルズ分解とは、流れ変数（速度 など）を平均（時間平均）成分（）と変動成分（）に分離することです。平均演算子はレイノルズ演算子であるため、一連の特性があります。これらの特性の1つは、変動量の平均がゼロ に等しいことです。したがって、 は位置ベクトルです。一部の著者^[2]は、平均項にではなくを使用することを好みます（オーバーバーはベクトルを表すために使用されることがあるため）。この場合、変動項は ではなく で表されます。これは、2つの項が同じ方程式に同時に現れないため可能です。混乱を避けるために、 、、 という表記法をそれぞれ瞬間項、平均項、変動項を表すために使用します。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\overline {u}}}$${\displaystyle u^{\prime }}$${\displaystyle ({\bar {u'}}=0)}$$${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u'({\boldsymbol {x}},t),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle u^{\prime }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle u'}$

レイノルズ演算子の特性は、RANS 方程式の導出に役立ちます。これらの特性を使用すると、テンソル表記で表現されるナビエ-ストークスの運動方程式は次のようになります (非圧縮ニュートン流体の場合)。 ここで、は外力を表すベクトルです。 $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$$${\displaystyle f_{i}}$

次に、各瞬間量を時間平均成分と変動成分に分割し、得られた式を時間平均すると、 ^[b]となり、次の式 が得られます。

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$$

運動量方程式は次のようにも書ける。 ^[c]

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.}$$ さらに操作すると、 $${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}$$

ここで、はひずみテンソルの平均速度です。 ${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

最後に、時間積分によって結果の項の時間依存性がなくなるため、時間微分を除去する必要があり、次のようになります。 $${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$$

レイノルズ応力の時間発展方程式は次のように表されます: ^[3] この方程式は非常に複雑です。をトレースすると、乱流運動エネルギーが得られます。最後の項は乱流散逸率です。すべてのRANSモデルは上記の方程式に基づいています。 $${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$$${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

• 性能試験モデルでは、渦格子法（VLM）または境界要素法（BEM）と組み合わせると、RANSが2つの逆回転プロペラ間の水の流れをモデル化するのに有効であることが判明しました。VLMまたはBEMはプロペラに適用され、RANSは動的に変化するプロペラ間状態に適用されます。^[4]
• RANS方程式は、都市環境における流れの特性を決定し、風の快適さを評価するためのモデルとして広く利用されています。この計算アプローチは、RANS方程式の解を含む直接計算、またはRANS方程式を基礎として機械学習アルゴリズムをトレーニングする間接的な方法を通じて実行できます。直接アプローチは間接アプローチよりも正確ですが、数値手法と計算流体力学（CFD）の専門知識、および方程式の複雑さを処理するためのかなりの計算リソースが必要です。^[5]

• ファーブルの平均