第一価格密封入札オークション

第一価格密封入札オークション（FPSBA）は、一般的なタイプのオークションです。ブラインドオークションとも呼ばれます。^[1]このタイプのオークションでは、すべての入札者が同時に密封入札を提出するため、他の入札者の入札額はわかりません。最高額入札者は、提出された価格を支払います。^{[2] : p2  [3]}

FPSBA では、各入札者は販売する品目の金銭的評価によって特徴付けられます。

アリスが入札者であり、彼女の評価額が であるとします。アリスが合理的であれば、次のようになります。 ${\displaystyle a}$

• 彼女は を超える金額で入札することは決してありません。 を超える金額で入札すると、純価値が損なわれるだけだからです。${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$
• 彼女がちょうど と入札した場合、彼女は損失を被ることはありませんが、プラスの価値を得ることもありません。${\displaystyle a}$
• 彼女が より低い金額で入札した場合、いくらかの利益が得られる可能性がありますが、正確な利益は他の人の入札によって決まります。${\displaystyle a}$

アリスは、その金額が 未満である限り、その品物を落札できる最小の金額で入札したいと考えています。たとえば、別の入札者ボブが と で入札した場合、アリスはで入札したいと考えています( は追加できる最小の金額、たとえば 1 セントです)。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y<a}$${\displaystyle y+\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

残念ながら、アリスは他の入札者がいくらで入札するのか知りません。さらに、彼女は他の入札者の評価額さえ知りません。したがって、戦略的には、ベイジアン ゲーム、つまりエージェントが他のエージェントの報酬を知らないゲームになります。

このようなゲームにおける興味深い課題は、ベイジアン・ナッシュ均衡を見つけることです。しかし、これは入札者が2人しかいない場合でも簡単ではありません。入札者の評価が独立かつ同一に分布するランダム変数である場合、状況はより簡単になります。つまり、評価はすべて既知の事前分布から引き出されます。^{[4] : 234–236}

入札者が 2 人いて、アリスとボブの入札額と評価額が区間 [0,1] の連続一様分布から抽出されているとします。この場合、各入札者が自分の価値のちょうど半分を入札すると、ベイジアン・ナッシュ均衡になります。アリスは を入札し、ボブは を入札します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a/2}$${\displaystyle b/2}$

証明: 証明はアリスの視点から行われます。アリスはボブが を入札することは知っているが、 は知らないと仮定します。ボブの戦略に対するアリスの最善の応答を見つけます。アリスが を入札すると仮定します。2 つのケースがあります。 ${\displaystyle f(b)=b/2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle x\geq f(b)}$するとアリスが勝ち、純利益 を得ます。これは確率 で発生します。${\displaystyle a-x}$${\displaystyle f^{-1}(x)=2x}$
• ${\displaystyle x<f(b)}$するとアリスは負け、純利益は 0 になります。これは確率 で発生します。${\displaystyle 1-f^{-1}(x)}$

全体として、アリスの期待利得は次のようになります。 利得が最大になるのは のときです。 導関数は次のようになります (逆関数と微分を参照)。 ${\displaystyle G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)}$${\displaystyle G'(x)=0}$

${\displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

アリスの入札が次の条件を満たす場合、ゼロになります。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}}$

ここで、対称的な均衡を探しているので、アリスの入札額が に等しくなることも望んでいます。したがって、次のようになります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}}$

${\displaystyle a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}}$

${\displaystyle af'(a)=(a-f(a))}$

この微分方程式の解は次のようになります。 ${\displaystyle f(a)=a/2}$

表記:

• ${\displaystyle v_{i}}$- 入札者の評価;${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y_{i}}$- を除くすべての入札者の最高評価値、すなわち、。${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}}$

そして、FPSBAは、プレーヤーの入札が次のように与えられる唯一の対称BNEを持つ: ^{[5] : 33–40}${\displaystyle i}$

${\displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]}$

FPSBA は、入札者が真の価値を報告するベイジアン・ナッシュ均衡が存在しないため、ベイジアン・ナッシュ・インセンティブ適合性 (BNIC) の弱い意味でも インセンティブ適合性がありません。

ただし、評価の事前条件が共通の知識である場合、FPSBA のバリアントである BNIC を作成するのは簡単です。たとえば、上記の Alice と Bob の場合、BNIC バリアントのルールは次のとおりです。

• 最高額入札者が落札します。
• 最高入札者は入札額の半額を支払います。

実際には、このバリアントはプレイヤーのベイジアン・ナッシュ均衡戦略をシミュレートするため、ベイジアン・ナッシュ均衡では両方の入札者が実際の価値で入札します。

この例は、より一般的な原則である「啓示原則」の特殊なケースです。

次の表は、FPSBA と密封入札第 2 価格オークション(SPSBA) を比較したものです。

オークション主催者の収益は、エージェントの評価が [0,1] から独立して均一にランダムに抽出される例のケースで計算されます。例として、エージェントがいる場合: ${\displaystyle n=2}$

• 第一価格オークションでは、競売人は 2 つの均衡入札のうち最大のもの、つまり を受け取ります。${\displaystyle \max(a/2,b/2)}$
• セカンドプライスオークションでは、競売人は 2 つの正直な入札のうちの最小値、つまり を受け取ります。${\displaystyle \min(a,b)}$

どちらの場合も、競売人の予想収益は 1/3 です。

収益が同じであるという事実は偶然ではなく、収益等価定理の特別なケースです。これは、エージェントの評価が統計的に独立している場合にのみ当てはまります。評価が従属している場合は、共通価値オークションが行われ、この場合、セカンドプライスオークションの収益は通常、ファーストプライスオークションよりも高くなります。

最終入札額が売り手を満足させるほど高くない場合、売り物は売れない可能性がある。つまり、売り手は最高入札額を受け入れるか拒否するかを決める権利を留保する。売り手が入札者に最低入札価格を発表する場合、それは公開最低入札価格オークションである。^[8] 一方、売り手が最低入札価格を販売前に発表せず、販売後にのみ発表する場合、それは秘密最低入札価格オークションである。^[9]

FPSBAは、入札者が1人につき1つの入札しかできないという点で、イギリスのオークションとは異なります。さらに、入札者は他の参加者の入札を見ることができないため、それに応じて自分の入札を調整することができません。^[3]

FPSBAは戦略的にはダッチオークションと同等であると主張されてきた。^{[2] : p13}

事実上FPSBAと呼ばれるものは、一般的に企業や組織による調達のための入札と呼ばれ、特に政府契約や採掘権のオークションで使用されています。^[3] FPSBAは、完了したプロジェクトの事後的な追加コストの増加や完了までの余分な時間を伴う可能性があるにもかかわらず、競争を通じて調達コストを下げ、透明性の向上を通じて汚職を減らすと考えられています。^[10]

一般化されたファーストプライスオークションは、スポンサー検索（別名ポジションオークション）の非真実オークションメカニズムです。

1位価格オークションと2位価格オークションの両方を一般化すると、価格が1位価格と2位価格の凸結合となるオークションとなる。^[11]

• Hammami, Farouk; Rekik, Monia; Coelho, Leandro C. (2019)。「異機種車両による輸送調達オークションの入札構成問題に対する正確かつヒューリスティックなソリューションアプローチ」。輸送研究パート E: ロジスティクスと輸送レビュー。127 : 150–177。doi : 10.1016 /j.tre.2019.05.009。S2CID 182223089  。第一価格密封入札ルールによる輸送サービス調達のための組み合わせオークション。

• ファーストプライスオークションにおけるナッシュ均衡 - math.stackexchange.com 内。