全額支払いオークション

経済学やゲーム理論において、オールペイオークションとは、従来のオークションと同様に最高額入札者に賞品が授与されるオークションであり、落札の有無に関わらず、すべての入札者が支払いをしなければならないオークションである。ライリーとサミュエルソン（1981）[ ^{1 ]が}示したように、私的情報のあるオールペイオークションにおける均衡入札は、封印された最高入札または公開された上昇価格オークションにおける入札と収益的に同等である。

最も単純なバージョンでは、完全な情報が存在する。ナッシュ均衡では、各入札者が混合戦略を採用し、期待利得はゼロとなる。^{[ 2 ]}売り手の期待収益は賞品の価値に等しい。しかし、いくつかの経済実験や研究では、過剰入札が一般的であることが示されている。つまり、売り手は落札を確実にするために、しばしば賞品の価値を超える収益を上げる。繰り返しのゲームでは、賞品を頻繁に落札する入札者でさえ、長期的には損失を被る可能性が高い。^{[ 3 ]}

完全情報を持つオールペイオークションは、純粋戦略ではナッシュ均衡を持たないが、混合戦略ではナッシュ均衡を持つ。^{[ 4 ]}

最も単純なオールペイオークションは、ゴードン・タロックにちなんでタロック宝くじとも呼ばれるタロックオークションで、全員が入札するが、敗者も勝者も入札額を支払う。^{[ 5 ]}これは、公共選択経済学の特定の概念を説明する上で重要である。

ドルオークションは、2人で行うタロックオークション、または最高額の入札者2名のみが入札額を支払うマルチプレイヤーゲームです。その他の実例としては、入札手数料オークションやペニーラッフル（蔑称で「チャイニーズオークション」^{[ 6 ]}と呼ばれる）があります。

他の形態の全額支払いオークションも存在し、例えば消耗戦（生物学的オークション^{[ 7 ]}とも呼ばれる）では、最高額入札者が落札するものの、すべての入札者（またはより一般的には両方の入札者）は最低額入札額のみを支払う。消耗戦は、生物学者が従来の競争や、物理的な攻撃に頼らずに解決される闘争的相互作用をモデル化するために使用する。

以下の分析はいくつかの基本的なルールに従っています。^{[ 8 ]}

• 各入札者は入札額を提示するが、その金額は入札者の評価額のみに基づいて決定される。
• 入札者は他の入札者の評価額を知らない。
• この分析は、各入札者の評価額が[0,1]の一様分布から独立して抽出される独立私的価値（IPV）環境に基づいています。IPV環境では、私の価値が0.6であれば、他の入札者のうち誰かがそれより低い価値を持つ確率も0.6です。したがって、他の2人の入札者がそれより低い価値を持つ確率は$0.6^2=0.36$。

IPVでは、評価額が同じ分布から得られるため、入札者は対称的です。このため、分析は対称的かつ単調な入札戦略に焦点を当てます。これは、同じ評価額を持つ2人の入札者が同じ入札額を提出することを意味します。結果として、対称性の下では、最も高い評価額の入札者が常に勝利します。^{[ 8 ]}

全額支払いオークションの2人プレイ版を検討し、${\displaystyle v_{i},v_{j}}$民間の評価は [0,1] の一様分布に従って独立かつ同一分布に従うものとする。我々は単調増加する入札関数を見つけたい。${\displaystyle b(v)}$これは対称的なナッシュ均衡を形成する。

プレイヤーが${\displaystyle i}$入札${\displaystyle b(x)}$彼がオークションに勝つのは、彼の入札額が他のプレイヤーの入札額よりも大きい場合のみです。${\displaystyle j}$の入札${\displaystyle b(v_{j})}$これが起こる確率は

${\displaystyle \mathbb {P} [b(x)>b(v_{j})]=\mathbb {P} [x>v_{j}]=x}$、 以来${\displaystyle b}$単調で${\displaystyle v_{j}\sim \mathrm {Unif} [0,1]}$

したがって、${\displaystyle i}$は${\displaystyle x}$。 したがって、${\displaystyle i}$彼が私的価値が${\displaystyle x}$は

${\displaystyle u_{i}(x|v_{i})=v_{i}xb(x)}$。

のために${\displaystyle b}$ベイズ・ナッシュ均衡であること、${\displaystyle u_{i}(x_{i}|v_{i})}$最大値は${\displaystyle x_{i}=v_{i}}$となることによって${\displaystyle i}$逸脱する動機がない${\displaystyle j}$入札に固執する${\displaystyle b(v_{j})}$。

${\displaystyle \implies u_{i}'(v_{i})=0\implies v_{i}=b'(v_{i})}$

統合すると、${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}+c}$。

プレイヤーが${\displaystyle i}$非公開の評価${\displaystyle v_{i}=0}$そうすれば、彼らは0を入札するでしょう。 ${\displaystyle b(0)=0}$これを利用して、積分定数も0であることを示すことができます。

したがって、${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$。

この関数は確かに単調増加なので、この入札戦略${\displaystyle b}$これはベイズ・ナッシュ均衡を構成します。この例における全額支払いオークションからの収益は

${\displaystyle R=b(v_{1})+b(v_{2})={\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$

以来 ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$Unif[0,1]からiid抽出された、期待収益は

${\displaystyle \mathbb {E} [R]=\mathbb {E} [{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}]=\mathbb {E} [v^{2}]=\int \limits _{0}^{1}v^{2}dv={\frac {1}{3}}}$。

収益等価定理により、2 人のプレイヤーがいるすべてのオークションの期待収益は次のようになります。${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$私的評価がUnif[0,1]から独立同分布である場合。 ^{[ 9 ]}

オークションが${\displaystyle n}$リスク中立的な入札者。各入札者は私的価値を持つ。${\displaystyle v_{i}}$共通の滑らかな分布から抽出された独立同分布${\displaystyle F}$処分が自由である場合、各入札者の価値はゼロを下回ることはない。したがって、一般性を失うことなく、可能な限り低い値をゼロに正規化する。

ゲームは対称であるため、最適な入札関数はすべてのプレイヤーで同じでなければなりません。この最適な入札関数を とします。${\displaystyle \beta }$各プレイヤーの利得は期待利益から入札額を差し引いたものとして定義されるため、最適な入札関数は次のように再帰的に定義できます。

${\displaystyle \beta (v_{i})\in arg\max _{b\in \mathbb {R} }\left\{\mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq b)v_{i}-b\right\}}$

F は滑らかであるため、同点になる確率はゼロであることに注意してください。これは、オークションに勝つ確率が CDF をプレイヤーの数マイナス 1 で累乗したものに等しくなることを意味します。つまり、${\displaystyle \mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq \beta (v_{i}))=F(v_{i})^{n-1}}$。

これで目的関数は包絡線定理の要件を満たすようになった。したがって、次のように書ける。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau &=(F(v_{i})^{n-1}\cdot v_{i}-\beta (v_{i}))-(F^{n-1}(0)\cdot 0-\beta (0))\\\beta (v_{i})&=F^{n-1}(v_{i})v_{i}-\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau \\\beta (v_{i})&=\int _{0}^{v_{i}}\tau dF^{n-1}(\tau )\end{aligned}}}$

これにより、固有の対称的なナッシュ均衡入札関数が得られる。${\displaystyle \beta (v_{i})}$。

選挙資金提供者と交渉している汚職官僚を考えてみましょう。各提供者は、自分にとって0ドルから1000ドルの間の価値のある便宜を図ってほしいと官僚に依頼します（便宜額は均等に分布しています）。提供者の実際の価値は250ドル、500ドル、750ドルです。提供者は自分の価値しか認識できません。提供者はそれぞれ官僚に高価な贈り物をします。もし提供者が贈り物にXドルを費やした場合、その贈り物は官僚にとってXドルの価値があることになります。官僚は1つの便宜しか引き受けることができず、最も高価な贈り物をくれた提供者の便宜を引き受けます。

これは、全額支払い型オークションの典型的なモデルです。各寄付者に対する最適な入札額を計算するには、IPVを適用できるように、評価値{250, 500, 750}を{0.25, 0.5, 0.75}に正規化する必要があります。

最適入札の公式によると：

${\displaystyle b_{i}(v_{i})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{i}}^{n}}$

IPVにおける3つのドナーの最適な入札額は以下のとおりです。

${\displaystyle b_{1}(v_{1})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{1}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.25}^{3}=0.0104}$

${\displaystyle b_{2}(v_{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{2}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.50}^{3}=0.0833}$

${\displaystyle b_{3}(v_{3})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{3}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.75}^{3}=0.2813}$

3人のドナーそれぞれが提供すべき最適な金額を算出するには、IPV値を1000倍するだけです。

${\displaystyle b_{1}real(v_{1}=0.25)=\$10.4}$

${\displaystyle b_{2}real(v_{2}=0.50)=\$83.3}$

${\displaystyle b_{3}real(v_{3}=0.75)=\$281.3}$

この例では、役人は最終的に375ドルを受け取ることになるが、役人の好意を得られるのは281.3ドルを寄付した3人目の寄付者だけであることを示唆している。他の2人の寄付者は、自分たちの評価額が十分高くない（勝つ可能性が低い）ことを知っているので、あまり寄付をせず、大きな利益を得られる可能性と勝つ可能性の低さのバランスを取っている。

全額支払い型のオークションの実際の例は、ポーランドのゲーム番組「Awantura o kasę」の形式の一部として見ることができます。