応答曲面法

統計学において、応答曲面法（RSM ）は、複数の説明変数と1つ以上の応答変数との関係を探究する手法です。RSMは、入力変数（因子とも呼ばれる）と応答との関係を数学的・統計的手法を用いて求める経験的モデルです。RSMが広く用いられるようになったのは、理論モデルなど他の手法が、扱いにくく、時間がかかり、非効率的で、誤差が生じやすく、信頼性に欠ける場合があったためです。この手法は、 1951年にジョージ・E・P・ボックスとK・B・ウィルソンによって提唱されました。RSMの基本的な考え方は、一連の実験計画法を用いて最適な応答を得ることです。ボックスとウィルソンは、この目的のために2次多項式モデルを用いることを提案しています。彼らは、このモデルはあくまで近似モデルであることを認めつつも、プロセスについてほとんど情報がない場合でも、推定や適用が容易であることからこのモデルを採用しました。

RSMなどの統計的手法は、操作要因の最適化によって特定の物質の生産を最大化するために利用できます。近年、製剤の最適化には、適切な実験計画法（DoE）を用いたRSMが広く利用されるようになりました。^{[ 1 ]}従来の方法とは対照的に、プロセス変数間の相互作用は統計的手法によって決定できます。^{[ 2 ]}

一次多項式モデルを推定する簡単な方法は、要因実験または一部実施要因計画を用いることです。これにより、どの説明変数が関心のある応答変数に影響を与えるかを判断するのに十分です。有意な説明変数のみが残っていると推測される場合は、中心複合計画などのより複雑な計画を用いて二次多項式モデルを推定できますが、これはあくまで近似値に過ぎません。しかし、二次モデルを用いることで、関心のある応答変数を最適化（最大化、最小化、または特定の目標値を達成）することができます。

直交性

k個の因子それぞれの効果を、交絡因子の影響を受けずに（あるいは最小限に抑えて）独立に推定できる特性。また、直交性によりモデル係数の推定値の分散が最小化され、互いに無相関となる。

回転性

設計点が因子空間の中心を中心として回転する性質。設計点の分布モーメントは一定である。

均一

中心点の数を制御するために使用されるCCD設計の3つ目の特性は、均一な精度（または均一性）です。

応答曲面法は統計モデルを用いるため、たとえ最良の統計モデルであっても、現実の近似値に過ぎないことを認識しておく必要があります。実際には、モデルもパラメータ値も未知であり、不確実性に加えて無知も伴います。当然ながら、推定された最適点が必ずしも現実の最適点であるとは限りません。推定値の誤差やモデルの不備が原因です。

それにもかかわらず、応答曲面法は、研究者が製品やサービスを改善するのに効果的な実績があります。たとえば、Box のオリジナルの応答曲面モデリングにより、化学エンジニアは、何年もサドルポイントで停滞していたプロセスを改善することができました。エンジニアは、二次モデルを推定するために 3 階の立方体設計を適合させる余裕がなく、偏った線形モデルでは勾配がゼロと推定されていました。Box の設計により実験のコストが削減され、二次モデルを適合させることが可能になり、（長年探し求めていた）上昇方向につながりました。^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ボックス・ベンケン設計
• 中心複合設計
• 勾配強化クリギング(GEK)
• 応答曲面法に基づくIOSO法
• 最適な設計
• プラケット・バーマン設計
• 多項式および有理関数モデリング
• 多項式回帰
• 確率的設計
• 代理モデル
• ベイズ最適化

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• 応答曲面設計