中央複合設計

統計学において、中心複合計画は、応答曲面法において、完全な 3 水準要因実験を使用せずに応答変数の 2 次 (二次) モデルを構築するために役立つ実験計画です。

計画された実験が実行された後、線形回帰が使用され、場合によっては反復されて結果を取得します。この設計を構築する際には、コード化された変数がよく使用されます。

この設計は、3 つの異なる実験実行セットで構成されています。

1. 調査対象の因子にはそれぞれ 2 つのレベルがある要因計画(場合によっては分数計画)。
2. 中心点のセット、つまり各因子の値が要因部分で使用される値の中央値である実験実行。この点は、実験の精度を向上させるために頻繁に複製されます。
3. 軸点のセット。実験は 1 つの因子を除いて中心点と同一ですが、2 つの因子レベルの中央値より下と上の両方の値を取り、通常は両方とも範囲外になります。すべての因子はこのように変化します。

k個の因子を含む中心複合計画実験の設計行列は、 3 種類の実験実行に対応する次の 3 つの異なる部分を含む 行列dから導出されます。

1. 因子実験から得られた行列F。因子レベルは、そのエントリが +1 および -1 としてコード化されるようにスケーリングされます。
2. 中心点からの行列C は、コード化された変数で (0,0,0,...,0) として表され、 k 個のゼロがあります。
3. 軸点からの 2 k行の行列E。各要素は順番に ±α に配置され、他のすべての要素はゼロになります。α の値は設計者によって決定されます。任意ですが、値によっては設計に望ましい特性がもたらされる場合があります。この部分は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{-\alpha }&0&0&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\alpha &0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&{-\alpha }&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &{}&{}&{}&{}&{}&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &\alpha \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &{-\alpha }\\\end{bmatrix}}.}$

d は垂直連結です。

${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}\mathbf {F} \\\mathbf {C} \\\mathbf {E} \end{bmatrix}}.}$

線形回帰で使用される設計行列X は、 1 の列 (切片) dと、 dの列のペアのすべての要素ごとの積の水平連結です。

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {1} &\mathbf {d} &\mathbf {d} (1)\times \mathbf {d} (2)&\mathbf {d } (1)\times \mathbf {d} (3)&\cdots &\mathbf {d} (k-1)\times \mathbf {d} (k)&\mathbf {d} (1)^{2}&\mathbf {d} (2)^{2}&\cdots &\mathbf {d} (k)^{2}\end{bmatrix} },}$

ここでd ( i )はdのi番目の列を表します。

α の有用な値を選択するには、さまざまな方法があります。要因計画によるポイントの数を F とし、追加ポイントの数をT = 2 k + nとします。ここで、 nは計画の中心点の数です。一般的な値は次のとおりです (Myers、1971)。

1. 直交計画: : 、ただし;${\displaystyle \alpha =(Q\times F/4)^{1/4}\,\!}$${\displaystyle Q=({\sqrt {F+T}}-{\sqrt {F}})^{2}}$
2. 回転可能な設計: α = F ^{1/4 (} MATLABのccdesign関数によって実装された設計)。

応答曲面法などの統計的アプローチは、操作要因の最適化によって特定の物質の生産を最大化するために使用できます。従来の方法とは対照的に、プロセス変数間の相互作用は統計的手法によって決定できます。たとえば、ある研究では、温度、時間、エタノール濃度など、稲わらの有機溶媒前処理の重要なパラメータの影響を調べるために中心複合設計が採用されました。残留固形物、リグニン回収率、水素収率が応答変数として選択されました。^[1]

マイヤーズ、レイモンド H.応答曲面法ボストン: アリン アンド ベーコン社、1971