レイショードリ方程式

一般相対性理論において、レイショードリー方程式、またはランダウ・レイショードリー方程式^[1]は、近傍の物質の運動を記述する基本的な結果である。

この方程式は、ペンローズ-ホーキング特異点定理の基本補題として、また一般相対性理論における厳密解の研究にとって重要であるが、ニュートンの万有引力理論と同様に、一般相対性理論では重力は任意の2つの質量-エネルギー間の普遍的な引力であるという私たちの直感的な予想を単純かつ一般的に検証しているため、独立した興味も持っています。

この方程式はインドの物理学者アマル・クマール・ライチャウドゥリ^[2]とソ連の物理学者レフ・ランダウ^[3]によって独立に発見されました。

時間的単位ベクトル場（ 積分曲線を介して交差しない世界線の族または合同として解釈できるが、必ずしも測地線ではない）が与えられた場合、レイチャウドゥリの方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

どこ

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

せん断テンソルの（非負の）二次不変量である

${\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

そして渦度テンソル

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

それぞれ。ここでは、

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

は膨張テンソルであり、はそのトレースであり、膨張スカラーと呼ばれ、 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

は に直交する超平面への射影テンソルです。また、ドットは合同の世界線に沿って数えられた固有時間に関する微分を表します。最後に、潮汐テンソルのトレースは次のようにも書けます 。${\displaystyle {\vec {X}}}$ ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

この量はRaychaudhuri スカラーと呼ばれることもあります。

膨張スカラーは、中心の共動観測者によって測定された、小さな物質球の体積が時間に対して変化する割合を測定します (したがって、負の値を取る場合があります)。言い換えると、上記の式は、時間的合同性の膨張の発展方程式を与えます。この量の導関数 (固有時間に関して) が、ある世界線に沿って (特定のイベントの後)負になる場合、小さな物質球 (その質量の中心が問題の世界線に沿っている) の膨張の後には必ず再収縮が起こります。そうでない場合は、膨張が継続する可能性があります。

せん断テンソルは、最初は球形だった物質の球が楕円形に歪む傾向を測定します。渦度テンソルは、近くの世界線が互いの周りでねじれる傾向を測定します (ねじれが発生すると、通常の流体の流れで流体要素に発生するように、物質の小さな塊が回転します。この現象は、渦度がゼロではない場合に発生します)。

Raychaudhuri の式の右辺は、次の 2 種類の項で構成されます。

1. （再）崩壊を促す用語
   • 最初はゼロ以外の拡張スカラー、
   • 非ゼロせん断、
   • 潮汐テンソルの正のトレースは、まさに、物理的に合理的な流体解などの最も重要なタイプの解に当てはまる強いエネルギー条件を仮定することによって保証される条件です。
2. （再）崩壊に反対する用語
   • ニュートンの遠心力に対応する非ゼロの渦度、
   • 加速度ベクトルの正の発散（例えば、球対称の爆発による外向きの加速度、またはもっと平凡な言い方をすれば、自身の重力によって保持されている流体の球内の流体要素にかかる体積力による加速度）。

通常、1 つの用語が優先されます。ただし、バランスが取れる場合もあります。このバランスは次のような場合です。

• 安定: 完全流体の球の静水圧平衡の場合(たとえば、恒星の内部モデル)、膨張、せん断、渦度はすべて消え、加速度ベクトルの放射状の発散 (各流体の塊に必要な体積力は周囲の流体の圧力によって提供される) が Raychaudhuri スカラーに対抗します。完全流体の場合、Raychaudhuri スカラーは幾何単位です。ニュートンの重力では、潮汐テンソルのトレースは です。一般相対性理論では、圧力が重力に対抗する傾向はこの項によって部分的に相殺されますが、特定の状況下ではこれが重要になることがあります。${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$${\displaystyle 4\pi \mu}$
• 不安定: たとえば、ゲーデル解のダスト粒子の世界線では、せん断、膨張、加速度はゼロですが、渦度は一定で、真空エネルギー (「宇宙定数」) がゼロではないため、一定の Raychuadhuri スカラーとちょうどバランスしています。

強いエネルギー条件が時空のある領域で成り立つと仮定し、を渦度がゼロの時間的測地線単位ベクトル場、または同等の、超曲面直交場とします。たとえば、この状況は、アインシュタイン場方程式の正確なダスト解である宇宙論モデルにおけるダスト粒子の世界線を調べるときに発生する可能性があります (これらの世界線が互いの周りでねじれていない場合、その場合、合同の渦度はゼロではありません)。 ${\displaystyle {\vec {X}}}$

するとレイチャウドゥリの方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

右側の辺は常に負またはゼロなので、拡張スカラーは時間の経過とともに増加することはありません。

最後の2つの項は非負なので、

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{3}}}$

この不等式を固有時間に関して積分すると、 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{3}}}$

膨張スカラーの初期値が負の場合、これは、膨張スカラーの初期値を測定した後、最大で の固有時間内に測地線がコースティック（マイナス無限大に向かう）に収束しなければならないことを意味します。これは必ずしも曲率特異点との遭遇を示すものではありませんが、塵の動きの数学的記述が破綻していることを示しています。 ${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle 3/|\theta _{0}|}$${\displaystyle \theta _{0}}$

ヌル測地線合同に対する Raychaudhuri 方程式の光学 (またはヌル) バージョンもあります。

${\displaystyle {\dot {\widehat {\theta }}}=-{\frac {1}{2}}{\widehat {\theta }}^{2}-2{\widehat {\sigma }}^ {2}+2{\ワイドハット {\オメガ }}^{2}-T_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$。

ここで、帽子は膨張、せん断、渦度が横方向のみに関することを示しています。渦度がゼロの場合、ヌルエネルギー条件を想定すると、アフィンパラメータがに達する前にコースティクスが形成されます。 ${\displaystyle 2/{\ワイドハット {\シータ }}_{0}}$

事象の地平線は、ヌル無限大の因果的過去の境界として定義されます。このような境界は、ヌル測地線によって生成されます。アフィンパラメータは、ヌル無限大に近づくにつれて無限大になり、それまではコースティックは形成されません。したがって、事象の地平線の拡大は非負でなければなりません。拡大は面積密度の対数の変化率を与えるため、ヌルエネルギー条件を仮定すると、少なくとも古典的には、事象の地平線の面積が減少することは決してないことを意味します。

• 合同性（一般相対性理論） 、運動学的分解とレイチャウドゥリ方程式の導出
• 重力特異点
• 集束定理の応用におけるペンローズ-ホーキング特異点定理

• ポアソン、エリック（2004）。相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83091-5。時間的測地線とヌル測地線の両方に対する Raychaudhuri の方程式と集束定理に関する優れた議論については、第 2 章を参照してください。
• キャロル、ショーン・M（2004）。『時空と幾何学：一般相対性理論入門』サンフランシスコ：アディソン・ウェスレー。ISBN 0-8053-8732-3。付録Fを参照してください。
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Hertl, Eduard (2003).アインシュタインの場の方程式の厳密解 (第 2 版) . ケンブリッジ: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7。Raychaudhuri 方程式の一般形を含む測地線合同の詳細な紹介については、第 6 章を参照してください。
• ホーキング、スティーブン & エリス、GFR (1973)。『時空の大規模構造』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。Raychaudhuri方程式の一般的な形式についてはセクション4.1を 参照してください。
• Raychaudhuri, AK (1955). 「相対論的宇宙論 I.」. Phys. Rev. 98 ( 4): 1123–1126. Bibcode :1955PhRv...98.1123R. doi :10.1103/PhysRev.98.1123. hdl : 10821/7599 . Raychaudhuri 氏の方程式を紹介する論文。
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati & Kar, Sayan (2009). 「ストリングブラックホール背景における測地線流の運動学」. Phys. Rev. D . 79 (12): 124004. arXiv : 0809.3074 . Bibcode :2009PhRvD..79l4004D. doi :10.1103/PhysRevD.79.124004. S2CID  118628925.3 つの運動量 (つまり、膨張スカラー、せん断、回転) に対する Raychaudhuri 方程式の一般形の導出については、セクション IV を参照してください。
• Kar、Sayan、SenGupta、スミトラ (2007)。 「ライショードリ方程式: 簡単なレビュー」。プラマナ。69 (1): 49–76。arXiv : gr-qc/0611123。Bibcode :2007Prama..69...49K。土井：10.1007/s12043-007-0110-9。S2CID  119438891。Raychaudhuri 方程式のレビューについては、 を参照してください。

• John C. Baez と Emory F. Bunn による「アインシュタインの場の方程式の意味」。アインシュタインの方程式の意味を解説したこのよく知られた (そして非常にお勧めの) 半技術的な解説では、Raychaudhuri の方程式が中心的な役割を果たしています。
• レイチャウドゥリ、AK (1979)。理論宇宙論。オックスフォードサイエンス出版。クラレンドンプレス。ISBN 978-0-19-851462-6。