スーパーヴィラソロ代数

数理物理学において、超ヴィラソロ代数は、ヴィラソロ代数（ミゲル・アンヘル・ヴィラソロにちなんで命名）をリー超代数に拡張したものである。超弦理論において特に重要な拡張が2つある。ラモンド代数（ピエール・ラモンにちなんで命名）^[1] とヌヴー・シュワルツ代数（アンドレ・ヌヴーとジョン・ヘンリー・シュワルツにちなんで命名） ^[2]である。どちらの代数もN = 1の超対称性と、ヴィラソロ代数によって与えられる偶数部分を持つ。これらは、ラモンド部門とヌヴー・シュワルツ部門と呼ばれる2つの異なる部門における超弦の対称性を記述する。

N = 1の超対称性を持つヴィラソロ代数の極小拡張は2つある。ラモンド代数とネヴー・シュワルツ代数である。これらは両方ともリー超代数であり、その偶数部はヴィラソロ代数である。このリー代数は、中心元 Cと生成元 L _m（整数mの場合）からなる基底を持ち、

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 ${\displaystyle \delta_{i,j}}$

代数の奇数部は基底 を持ち、ここで は整数（ラモンドの場合）か、奇数の半分（ヌヴー・シュワルツの場合）のいずれかである。どちらの場合も、は超代数の中心であり、追加の次数付き括弧は次のように与えられる。 ${\displaystyle G_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]=\left({\frac {m}{2}}-r\right)G_{m+r}}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{3}}\left(r^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\delta _{r+s,0}}$

両方の生成子が奇数であるため、この最後の括弧は交換子ではなく反交換子であることに注意してください。

ラモンド代数は2つの生成元と5つの条件で表現され、ネヴー・シュワルツ代数は2つの生成元と9つの条件で表現される。^[3]

これらの代数のユニタリ最高重み表現は、表現の連続体と無限離散級数を伴う、ヴィラソロ代数と類似した分類を持つ。これらの離散級数の存在は、ダニエル・フリーダン、ゾンガン・チウ、スティーブン・シェンカー(1984) によって推測された。これは、コセット構成または GKO 構成の超対称一般化を使用して、 ピーター・ゴダード、エイドリアン・ケント、デビッド・オリーブ(1986)によって証明された。

超弦理論では、閉じた弦上のフェルミオン場は、弦の周りの円上で周期的または反周期的のいずれかになります。「ラモンドセクター」の状態は、ラモンド代数で記述される 1 つのオプション (周期条件はラモンド境界条件と呼ばれます) を許可しますが、「ヌヴー・シュワルツセクター」の状態は、ヌヴー・シュワルツ代数で記述されるもう 1 つのオプション (反周期条件はヌヴー・シュワルツ境界条件と呼ばれます) を許可します。

フェルミオン場の場合、周期性はワールドシート上の座標の選択に依存します。単一の弦状態の世界シートが長い円筒として記述されるw フレームでは、Neveu-Schwarz セクターの状態は反周期的であり、Ramond セクターの状態は周期的です。単一の弦状態の世界シートが無限の穴の開いた平面として記述されるz フレームでは、その逆が当てはまります。

ネヴー・シュワルツセクターとラモンドセクターも開弦で定義され、開弦の端における フェルミオン場の境界条件に依存します。

• N = 2 超共形代数
• NS-NSセクター
• ラモンド・ラモンドセクター
• 超共形代数

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