量子擬似テレパシー

これは、アリスとボブという2人のプレイヤーと審判1人による協力型ゲームです。審判はアリスに、3×3の表の1行を、ボブに1列をプラスとマイナスの記号で埋めるように指示します。解答は以下の制約を満たさなければなりません。アリスの行には偶数個のマイナス記号、ボブの列には奇数個のマイナス記号、そして行と列が交差するセルには両者とも同じ記号を割り当てる必要があります。これらの条件を満たせば勝ち、そうでなければ負けとなります。

アリスとボブは一緒に戦略を練ることは許されているが、どの行と列を埋める必要があるかが分かった後は、お互いに連絡を取り合うことは許されていない（そうでなければゲームが簡単になりすぎるため）。

アリスとボブが常に勝つ古典的な戦略を思いつくことができれば、それを3×3の表で表現して答えを符号化できることは容易に想像できます。しかし、これは不可能です。なぜなら、この仮想的な表ではマイナス記号の数が偶数かつ奇数でなければならないからです。つまり、各行には偶数個のマイナス記号が含まれていなければならず、それによってマイナス記号の総数が偶数になり、各列には奇数個のマイナス記号が含まれていなければならず、それによってマイナス記号の総数が奇数になるからです。

もう少し詳しく分析すると、最良の古典的戦略は、各セルにアリスとボブの回答（異なる場合もある）が含まれる表で表せることがわかります。アリスの行とボブの列のパリティを維持しつつ、9つのセルのうち8つで両者の回答を一致させることが可能です。これは、審判が両者の回答が一致するセルのいずれかと交差する行と列を要求した場合、両者が勝ち、そうでない場合は負けることを意味します。審判が両者を均等にランダムに要求するという通常の仮定の下では、最良の古典的勝率は8/9です。

量子擬似テレパシーを使用すれば、アリスとボブはゲーム開始後一切のコミュニケーションなしに、 100%の確率でゲームに勝つことができる。

これには、アリスとボブがもつれ状態にある粒子のペアを2組持っている必要があります。これらの粒子はゲーム開始前に準備されていなければなりません。各ペアの粒子のうち1つはアリスが、もう1つはボブが持っているので、それぞれ2つの粒子を持っています。アリスとボブは、どの列と行を埋めるべきかを知ると、それぞれその情報を使って、自分の粒子に対してどの測定を行うべきかを選択します。測定の結果は、どちらにとってもランダムに見えるため（そして、いずれかの粒子の観測された部分的な確率分布は、相手が行った測定とは無関係です）、実際には「通信」は行われません。

しかし、粒子を測定するプロセスは、測定結果の同時確率分布に十分な構造を与えるため、アリスとボブが測定結果に基づいて行動を選択した場合、確率1でゲームに勝つことができる一連の戦略と測定が存在する。

アリスとボブが何光年も離れていても、量子もつれ状態にある粒子のおかげで、彼らは十分に連携して行動することができ、確実にゲームに勝利することができるという点に注意してください。

このゲームでは、各ラウンドで1つのエンタングル状態が消費されます。Nラウンドプレイするには、 N個のエンタングル状態（2N個の独立したベルペア、下記参照）を事前に共有する必要があります。これは、各ラウンドで2ビットの情報を測定する必要があるためです（3番目のエントリは最初の2つによって決定されるため、測定は不要です）。この測定によってエンタングルメントが破壊されます。以前のゲームで得られた古い測定値を再利用する方法はありません。

コツは、アリスとボブが量子もつれ状態を共有し、もつれ状態のそれぞれの構成要素に対して特定の測定を行い、表のエントリを導き出すことである。適切な相関状態は、一対のベルもつれ状態から構成される。

${\displaystyle \left|\varphi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{a}\otimes \left|+\right\rangle _{b}+\left|-\right\rangle _{a}\otimes \left|-\right\rangle _{b}{\bigg )}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{c}\otimes \left|+\right\rangle _{d}+\left|-\right\rangle _{c}\otimes \left|-\right\rangle _{d}{\bigg )}}$

ここ${\displaystyle \left|+\right\rangle }$そして${\displaystyle \left|-\right\rangle }$はそれぞれパウリ演算子S _xの固有値 +1 と −1 を持つ固有状態であり、添え字 a、b、c、d は各ベル状態の成分を識別し、aとcはアリスに、bとdはボブに対応します。${\displaystyle \otimes }$テンソル積を表します。

これらの成分の観測量は、パウリ行列の積として表すことができる。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

これらのパウリスピン演算子の積を用いて3×3の表を埋めると、各行と各列には、固有値が+1と-1の可換な観測量の集合が含まれ、各行の観測量の積は恒等演算子に等しく、各列の観測量の積はマイナス恒等演算子に等しくなります。これは、いわゆるマーミン・ペレス魔方陣です。下の表に示します。

実際には、各行の要素の積が+1、各列の要素の積が-1となるような、+1と-1のエントリを持つ3×3の表を作成することは不可能ですが、スピン行列に基づくより豊かな代数構造を使用すれば可能です。

プレイは、各プレイヤーがラウンドごとにエンタングル状態の自分の部分について1回測定を行うことで進行します。アリスの各測定は行の値を与え、ボブの各測定は列の値を与えます。これは、特定の行または列のすべての観測量が可換であるため、それらを同時に測定できる基底が存在するため可能です。アリスの最初の行では、彼女は自分の粒子を両方とも測定する必要があります。${\displaystyle Z}$基準として、2行目については、彼女はそれらを測定する必要があります。${\displaystyle X}$基底、そして3行目については、彼女はそれらをエンタングルド基底で測定する必要があります。ボブの最初の列については、彼は最初の粒子を${\displaystyle X}$基礎と2番目は${\displaystyle Z}$基礎として、2 番目の列では、最初の粒子を測定する必要があります。${\displaystyle Z}$基礎と2番目は${\displaystyle X}$アリスは、3 列目では、ベル基底という別のエンタングルド基底で両方の粒子を測定する必要があります。上記の表を使用している限り、測定結果は、アリスの行では常に +1、ボブの列では常に -1 になることが保証されます。もちろん、行と列が異なると互換性がないため、完全に新しいラウンドごとに新しいエンタングルド状態が必要になります。

古典的には、アリス、ボブ、キャロルは常に奇数の合計になる決定論的戦略を採用できます（例：アリスは常に1を出力し、ボブとキャロルは常に0を出力します）。プレイヤーは75%の確率で勝ち、質問が${\displaystyle (0,0,0)}$。

これは最良の古典的戦略です。4つの勝利条件のうち、同時に満たせるのは3つだけです。${\displaystyle a_{0},a_{1}}$アリスの質問0と質問1に対する回答をそれぞれ、${\displaystyle b_{0},b_{1}}$ボブの質問0、1、およびに対する回答${\displaystyle c_{0},c_{1}}$キャロルの質問0、1に対する回答を次のように表します。勝利条件を満たすすべての制約を次のように記述できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}+b_{0}+c_{0}=0\mod 2\\&a_{1}+b_{1}+c_{0}=1\mod 2\\&a_{1}+b_{0}+c_{1}=1\mod 2\\&a_{0}+b_{1}+c_{1}=1\mod 2\end{aligned}}}$$

4つの勝利条件すべてを満たす古典的な戦略が存在すると仮定します。4つの条件すべてが真であるとします。観察すると、各項は左辺に2回ずつ現れます。したがって、左辺の合計は0 mod 2となります。しかし、右辺の合計は1 mod 2となります。この矛盾は、4つの勝利条件すべてを同時に満たすことはできないことを示しています。

アリス、ボブ、キャロルが量子戦略を採用することを決めたとき、彼らは三者間のもつれ状態を共有する。${\textstyle |{\psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle )}$GHZ国家として知られる。

質問0が受信された場合、プレイヤーはX基準で測定を行う。${\textstyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$質問1が受信された場合、プレイヤーはY基準で測定を行います。${\textstyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle ),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )\right\}}$どちらの場合も、測定結果がペアの最初の状態であればプレイヤーは0を、結果がペアの2番目の状態であれば1を答えます。この戦略により、プレイヤーは1の確率でゲームに勝利します。