量子グラフ

数学と 物理学において、量子グラフは、各辺に長さが与えられ、各辺に微分（または擬似微分）方程式が設定された、辺に接続された頂点の線形ネットワーク構造（グラフ）です。一例として、変電所（頂点）に接続された電力線（辺）で構成される電力網が挙げられます。微分方程式は各線に沿った電圧を記述し、隣接する頂点で提供される各辺の境界条件により、すべての辺に追加された電流が各頂点でゼロになることが保証されます。

量子グラフは、1930年代にライナス・ポーリングによって有機分子の自由電子のモデルとして初めて研究されました。量子グラフは、さまざまな数学的文脈でも登場します。 ^[1]たとえば、量子カオスのモデルシステム、導波路の研究、フォトニック結晶、アンダーソン局在、または細線の収縮の限界などです。量子グラフは、ナノテクノロジーの理論的理解を得るために使用されるメソスコピック物理学の重要なモデルとなっています。量子グラフのもう1つのより単純な概念は、フリードマンらによって導入されました。^[2]

具体的な応用を目的として量子グラフ上に提示された微分方程式を実際に解くこと以外に、生じる典型的な疑問は、制御可能性（システムを望ましい状態にするためにはどのような入力を提供する必要があるか。たとえば、電力網上のすべての家に十分な電力を供給するなど）と識別可能性（システムの状態の全体像を把握するために、どこでどのように何かを測定する必要があるか。たとえば、水道管網の圧力を測定してパイプの水漏れがあるかどうかを判断するなど）に関する疑問です。

メトリックグラフは、頂点のセットとエッジのセットで構成されるグラフ です。各エッジは、区間に関連付けられているため、区間上の座標が である場合、頂点はおよび に対応し、その逆も同様です。どの頂点が 0 にあるかは任意で選択でき、代替はエッジ上の座標の変更に対応します。グラフには自然なメトリックがあります。グラフ上の 2 つのポイントの場合、 はそれらの間の最短距離であり、距離はグラフのエッジに沿って測定されます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$${\displaystyle [0,L_{e}]}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle x_{e}=0}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle \rho (x,y)}$

開いたグラフ:組み合わせグラフ モデルでは、辺は常に頂点のペアを結合しますが、量子グラフでは半無限の辺も考慮されます。これらは、 単一の頂点に付属する区間に関連付けられた辺です。このような開いた辺を 1 つ以上持つグラフは、開いたグラフと呼ばれます。 ${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle x_{e}=0}$

量子グラフは、グラフ上の関数に作用する微分（または擬似微分）演算子を備えた計量グラフです。計量グラフ上の関数は、区間上の関数の組 として定義されます。グラフのヒルベルト空間は、 2つの関数の内積が ${\displaystyle f}$${\displaystyle |E|}$${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e }(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$開いたエッジの場合は無限になることがあります。計量グラフ上の演算子の最も単純な例は、ラプラス演算子です。エッジ上の演算子はで、 はエッジ上の座標です。演算子を自己随伴にするには、適切なドメインを指定する必要があります。これは通常、グラフのエッジ上の関数のソボレフ空間を取り、頂点で一致条件を指定することによって実現されます。 ${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

演算子を自己随伴にするマッチング条件の自明な例は、すべての辺に対するディリクレ境界条件である。有限辺上の固有関数は次のように書ける。 ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

整数 の場合。グラフが無限の辺を持たずに閉じており、グラフの辺の長さが有理的に独立している場合、1 つのグラフ辺で固有関数がサポートされ、固有値は です。ディリクレ条件では区間間の相互作用が許可されないため、スペクトルは切断された辺の集合のスペクトルと同じになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$

エッジ間の相互作用を可能にするより興味深い自己随伴マッチング条件は、ノイマンまたは自然マッチング条件である。演算子のドメイン内の関数はグラフ上のどこでも連続であり、頂点での出力導関数の合計はゼロである。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\ ,}$

ここで、頂点が にあり、が にある場合です。 ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x=L_{e}}$

メトリックグラフ上の他の演算子の特性も研究されています。

• これらには、より一般的なシュレーディンガー演算子のクラスが含まれる。

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$

ここで、はエッジ上の「磁気ベクトルポテンシャル」であり、はスカラーポテンシャルです。 ${\displaystyle A_{e}}$${\displaystyle V_{e}}$

• もう 1 つの例は、グラフ上のディラック演算子です。これは、電子などの固有角運動量が 1/2 である粒子の量子力学を記述するベクトル値関数に作用する行列値演算子です。
• グラフ上のディリクレ-ノイマン演算子は、フォトニック結晶の研究で生じる擬似微分演算子です。

グラフ上のラプラス作用素の自己随伴マッチング条件はすべて、コストリキンとシュレーダーのスキームに従って分類できます。実際には、変分形式の作用素を自動的に生成する クフメントによって導入された形式を採用する方が便利な場合が多くあります ( ^{[3]を参照)。}

を頂点とし、そこから辺が伸びているとします。簡単にするために、辺の座標を、で交わる各辺がにあるように選びます。グラフ上の 関数を とすると、${\displaystyle v}$${\displaystyle d}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{e}=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

におけるマッチング条件は、行列のペア と線形方程式によって指定できます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

マッチング条件は、 最大ランクを持ち、${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

有限グラフ上のラプラス作用素のスペクトルは、コットスとスミランスキーによって導入された散乱行列アプローチを使用して簡単に記述できます。^{[4] [5]} エッジ上の固有値問題は、

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

したがって、エッジ上の解は平面波の線形結合として表すことができます。

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

ここで、時間依存シュレーディンガー方程式では、はにおける出射平面波の係数であり、はにおける入射平面波の係数である。におけるマッチング条件は散乱行列を定義する。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\hat {c}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

散乱行列は、、における入射および出射平面波係数のベクトルを関連付けます。自己随伴マッチング条件の場合、はユニタリです。の要素は 、有向エッジから エッジへの複素遷移振幅であり、一般に に依存します。ただし、マッチング条件の大規模なクラスでは、S 行列は に依存しません。たとえば、ノイマンマッチング条件の場合、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (uv)}$${\displaystyle (vw)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

を式に代入すると、-独立な遷移振幅 が得られる。${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

ここでクロネッカーのデルタ関数は、 の場合は1 、それ以外の場合は0です。遷移振幅から、 行列を定義できます。 ${\displaystyle \delta _{uw}}$${\displaystyle u=w}$${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$は結合散乱行列と呼ばれ、グラフ上の量子発展演算子と考えることができます。これはユニタリであり、グラフの平面波係数のベクトルに作用します。ここで、はからに伝わる平面波の係数です。位相は、頂点から頂点に伝わるときに平面波が得る位相です。 ${\displaystyle 2|E|}$${\displaystyle c_{(uv)}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

量子化条件:グラフ上の固有関数は、それに関連付けられた平面波係数を通じて定義できます。固有関数は量子進化の下では定常であるため、グラフの量子化条件は進化演算子を使用して記述できます。 ${\displaystyle 2|E|}$

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

固有値は、行列に固有値 1 がある場合に、の値で発生します。スペクトルを で順序付けます 。 ${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U(k)}$${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$

グラフの最初のトレースの公式は、Roth (1983) によって導き出されました。1997 年に Kottos と Smilansky は、上記の量子化条件を使用して、遷移振幅が に依存しない場合のグラフ上のラプラス演算子の次のトレースの公式を取得しました。トレースの公式は、スペクトルをグラフ上の周期軌道に結び付けます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$は状態密度と呼ばれます。トレースの式の右側の項は 2 つの項で構成されます。ワイル項は固有値の平均間隔で、振動部分はグラフ上の すべての周期軌道の合計です。は軌道の長さで、 はグラフの合計の長さです。より短い基本軌道を繰り返すことによって生成される軌道の場合、再分割の数をカウントします。 は軌道の周りのグラフの頂点での遷移振幅の積です。 ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$${\displaystyle r_{p}}$${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$

量子グラフは、ナフタレンなどの有機分子の自由電子のスペクトルをモデル化するために、1930 年代に初めて使用されました (図を参照)。第一近似として、原子は頂点と見なされ、σ 電子は結合を形成し、自由電子が閉じ込められている分子の形状のフレームを固定します。

量子導波路を考えるときにも同様の問題が生じます。これらはメソスコピック システム、つまりナノメートル スケールの幅で構築されたシステムです。量子導波路は、エッジが細いチューブである太いグラフと考えることができます。この領域上のラプラス演算子のスペクトルは、特定の条件下でグラフ上のラプラス演算子のスペクトルに収束します。メソスコピック システムを理解することは、ナノテクノロジーの分野で重要な役割を果たします。

^1997年[6]にコットスとスミランスキーは、古典的にはカオス的なシステムの量子力学である量子カオスを研究するためのモデルとして量子グラフを提案した 。グラフ上の古典的な動きは確率的マルコフ連鎖として定義することができ、エッジからエッジへの散乱の確率は量子遷移振幅の絶対値の2乗で与えられる。ほとんどすべての有限連結量子グラフでは、確率的ダイナミクスはエルゴード的かつ混合的、つまりカオス的である。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$

2次元または3次元に埋め込まれた量子グラフは、フォトニック結晶の研究に登場します。^[7] 2次元では、フォトニック結晶の単純なモデルは、空気で満たされたセル間の狭い界面を持つ高密度誘電体の多角形セルで構成されます。主に誘電体内にとどまる誘電体モードを研究すると、狭い界面に沿ったグラフ上の擬似微分演算子が生成されます。

の格子のような周期的な量子グラフは周期システムの一般的なモデルであり、量子グラフは、無秩序な状態でスペクトル バンドの端に局在状態が発生するアンダーソン局在現象の研究に適用されています。 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$

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