シンクロトロン放射の量子ゆらぎ

円形加速器や蓄積リングでは、電子は離散的な光子としてシンクロトロン放射を放出し、その運動に量子ゆらぎが生じる。この離散性により、粒子はエネルギーと運動量の空間でランダムウォークを起こし、ビームのエネルギー分布と放射率を形作る拡散過程が生じる。

磁場中を移動する電子は、シンクロトロン放射と呼ばれる放射線を放出する。予想される放射線量は、古典的なべき乗を用いて計算できる。しかし、量子力学を考慮すると、この放射線は離散的な光子のパケットとして放出される。この記述においては、放出される光子の数の分布と、電子のエネルギー スペクトルを決定する必要がある。

特に、曲げ磁石内を移動する荷電粒子によって放出される正規化パワースペクトルは、次式で与えられる。

${\displaystyle S(\xi )={\frac {9{\sqrt {3}}}{8\pi }}\xi \int _{\xi }^{\infty }K_{5/3}({\bar {\xi }})d{\bar {\xi }}.}$

この結果は、もともとドミトリ・イヴァネンコとアルセニー・ソコロフによって導き出され、 1949年にジュリアン・シュウィンガーによって独立に導き出されたものである。 ^{[ 1 ]}

このパワースペクトルの各べき乗をエネルギーで割ると、光子束が得られます。

${\displaystyle F(\xi )={\frac {1}{\xi }}S(\xi )={\frac {9{\sqrt {3}}}{8\pi }}\int _{\xi }^{\infty }K_{5/3}({\bar {\xi }})d{\bar {\xi }}.}$

この正規化されたパワースペクトル（全エネルギー）からの光子束は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {N}}_{norm}={\frac {9{\sqrt {3}}}{8\pi }}\int _{\xi =0}^{\infty }\int _{{\bar {\xi }}=\xi }^{\infty }K_{5/3}({\bar {\xi }})d{\bar {\xi }}d\xi =\Gamma (11/6)\Gamma (1/6){\frac {9{\sqrt {3}}}{8\pi }}={\frac {15{\sqrt {3}}}{8}}.}$

上記の光子束積分が有限であるという事実は、離散的な光子放出を意味する。これはポアソン過程である。放出率は^{[ 2 ]： 4.4 、 [ 2 ]： 5.9、[ 2 ]： 5.12である。}

${\displaystyle r_{\gamma }={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}{\frac {r_{e}e_{0}\beta ^{4}\gamma }{\hbar |\rho |}}{\text{ photons/sec}}.}$

移動距離${\displaystyle \Delta s}$速度に近い${\displaystyle c}$（${\displaystyle \beta \approx 1}$)粒子から放出される光子の平均数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \langle n_{\gamma }\rangle ={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}{\frac {r_{e}e_{0}\gamma }{\hbar |\rho |}}{\frac {\Delta s}{c}}={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}{\frac {\alpha \gamma }{|\rho |}}\Delta s,}$

どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数です。k個の光子が放出される確率は、${\displaystyle \Delta s}$は

${\displaystyle Pr\left(n_{\gamma }=k\right)={\frac {\langle n_{\gamma }\rangle ^{k}}{k!}}e^{-\langle n_{\gamma }\rangle }.}$

光子数曲線とパワースペクトル曲線は臨界エネルギーで交差する。

${\displaystyle u_{c}={\frac {3c\hbar \gamma ^{3}}{2\rho }},}$

ここで、γ = E / e ₀、Eは荷電粒子の全エネルギー、ρは曲率半径、r _{e は}古典的な電子半径、e 0 ₌ m e _c 2^は粒子の静止質量エネルギー、ℏ は換算プランク定数、cは光速である。

量子エネルギーの平均値は次のように表される。${\displaystyle \langle u\rangle ={\frac {8}{15{\sqrt {3}}}}u_{c}}$そして、主に放射減衰に影響を与える。しかし、粒子運動の摂動（拡散）は主に量子エネルギーの分散と関連している。${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$そして平衡放射率につながる。特定の位置sにおける拡散係数は次式で与えられる。

${\displaystyle d(s)={\frac {55}{48{\sqrt {3}}}}\alpha \left({\frac {\hbar }{m_{e}c}}\right)^{2}{\frac {\gamma ^{5}}{|\rho (s)|^{3}}}.}$^{[ 3 ]}

蓄積リングにおける電子ビームダイナミクスに対する量子励起の影響に関する初期の分析については、Matt Sands による記事を参照してください。^{[ 2 ]}