数学的シーケンスの収束速度
数学的解析 、特に 数値解析 において 、 極限 に収束する 数列 の 収束率 と 収束次数は、 数列がどれだけ速くその極限に近づくかを示すいくつかの特徴のいずれかです。これらは、数列がすでに限界に近づいている場合にさらに限界に近づく速さを表す収束率と収束次数（ 漸近的収束 率と収束次数と呼ばれます）と、必ずしも限界に近いわけではない開始点から数列がどれだけ速く限界に近づくかを表す収束率と収束次数（非漸近的収束率と収束次数と呼ばれます）に大別されます。
漸近速度と収束次数は、実用数値計算と形式的証明の両方で特に重要であり、この記事では主にこれらに焦点を当てています。実用数値計算では、漸近速度と収束次数は、2 種類のシーケンスに対して 2 つの一般的な規則に従います。1 つ目は 反復数値法 の反復シーケンス、2 つ目はターゲットの連続的により正確な数値 離散化 シーケンスです。形式数学では、収束速度と収束次数は、 一般に「 ビッグ O 表記法」と呼ばれる 漸近表記法 を使用して記述されることが多く、この表記法は前述の規則の両方を包含するために使用できます。
反復法では、収束する 数列は、次の場合に漸近 収束順序 と漸近 収束率 を持つと言われる 。
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
L
{\displaystyle L}
q
≥
1
{\displaystyle q\geq 1}
μ
{\displaystyle \mu }
lim
n
→
∞
|
x
n
+
1
−
L
|
|
x
n
−
L
|
q
=
μ
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{n+1}-L\right|}{\left|x_{n}-L\right|^{q}}}=\mu .}
[1] [2] より高い方法論的精度が求められる場合、これらの収束率と収束次数は、特にQ収束率とQ収束次数（商収束の略）として知られています。これは、問題の限界が誤差項の商であるためです。 [2] 次数が大きいシーケンスは 次数が小さいシーケンスよりも速く収束し、与えられた次数に対して、収束率が小さいシーケンスは 収束率が大きいシーケンスよりも速く収束します。
q
{\displaystyle q}
μ
{\displaystyle \mu }
同じ次数のシーケンス間では「速度が小さいほど収束が速い」という動作は標準的ですが、直感に反する場合があります。したがって、を 速度として定義することも一般的です。これは、次数 1 で収束するシーケンスの「反復ごとの精度の余分な小数点以下の数」です。 [2] 収束率は 漸近誤差定数 と呼ばれることもあり 、 この記事で 次数を使用しているところで 速度 を使用する著者もいます(例: [3] )。
−
log
10
μ
{\displaystyle -\log _{10}\mu }
μ
{\displaystyle \mu }
同様の概念は離散化のシーケンスにも使用されます。たとえば、理想的には、 規則的なグリッド を介して離散化された 微分方程式 の解は、グリッド間隔がゼロに近づくにつれて連続微分方程式の解に収束します。そうであれば、その収束の漸近速度と順序は、グリッド離散化法の効率の重要な特徴です。0に収束する 規則的なグリッド間隔のシーケンスに 対応する真の解に収束する、ある問題の近似グリッド解のシーケンスは、次の場合に漸近 収束順序 と漸近 収束速度 を持つと言われます 。
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
S
{\displaystyle S}
(
h
n
)
{\displaystyle (h_{n})}
q
{\displaystyle q}
μ
{\displaystyle \mu }
lim
n
→
∞
|
y
n
−
S
|
h
n
q
=
μ
,
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{n}-S\right|}{h_{n}^{q}}}=\mu ,}
ここで、絶対値記号は、 一様ノルム などの解の空間に対する関数 メトリック を表します。 同様の定義は、 有限要素法 の ポリゴンメッシュ や 計算化学 の 基底セット などの非グリッド離散化スキームにも適用されます。一般に、漸近速度の適切な定義には、上記の近似誤差項と 以下の離散化スケールパラメータの
漸近順序べき乗の比の漸近極限が含まれます。
μ
{\displaystyle \mu }
q
{\displaystyle q}
実際には、反復または近似のシーケンスの漸近速度と収束順序は、数値近似を計算するために反復法と離散化法を使用するときに役立つ情報を提供します。ただし、厳密に言えば、シーケンスの漸近動作は、シーケンスの有限部分に関する決定的な情報を提供しません。
級数加速法は、 級数 の部分和の列の収束率 と、場合によってはその収束順序も改善する手法です。これらの加速は、通常、 列変換 によって実現されます。
反復法の収束率
収束率の定義 数列が 数 に収束する と仮定する 。数列が の位数で収束し、収束率が であると言われるのは 、 次 の 場合 である。
(
x
k
)
{\displaystyle (x_{k})}
L
{\displaystyle L}
q
{\displaystyle q}
L
{\displaystyle L}
μ
{\displaystyle \mu }
lim
k
→
∞
|
x
k
+
1
−
L
|
|
x
k
−
L
|
q
=
μ
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|^{q}}}=\mu }
ある正の定数に対して、 かつ の 場合に成り立ちます 。 [2] [4] [5] 数列が収束する場合は、 より専門的な速度の定義が必要になります。 [6] この定義は、専門的には商収束の略である Q 収束と呼ばれ、速度と次数は、技術的な詳細が必要な場合には Q 収束の速度と次数と呼ばれます。下の § R 収束と比較してください。
μ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \mu \in (0,1)}
q
=
1
{\displaystyle q=1}
μ
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu \in (0,\infty )}
q
>
1
{\displaystyle q>1}
lim
k
→
∞
|
x
k
+
1
−
L
|
|
x
k
−
L
|
=
1
,
{\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1,}
は整数である必要はありません 。たとえば、 正割法 は 、規則的な 単純な根に収束する場合、 黄金比 φ ≈ 1.618 の順序になります。 [ 要出典 ] ただし、整数のべき乗は一般的であり、共通の名前が付けられています。 および の順序での収束は 線形収束 と呼ばれ 、シーケンスは に線形収束する と言われています。 および任意の での収束は 二 次収束 と呼ばれ 、シーケンスは に二 次収束する と言われています。および 任意の での収束は三次収束 と呼ばれます 。
q
{\displaystyle q}
q
=
1
{\displaystyle q=1}
μ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \mu \in (0,1)}
L
{\displaystyle L}
q
=
2
{\displaystyle q=2}
μ
{\displaystyle \mu }
q
=
3
{\displaystyle q=3}
μ
{\displaystyle \mu }
一般に、 シーケンスが であり、シーケンスが を満たす場合、 シーケンスは超線形収束（つまり、線形収束よりも速い）すると言われる 。 [2] [7]シーケンスが に収束する場合、シーケンスは に 収束する （つまり、線形収束よりも遅い）と言われます。シーケンスが に 対数収束する 場合、シーケンスは に収束し、シーケンスが に収束する場合、 シーケンスは に収束します。 また、 [6]
q
>
1
{\displaystyle q>1}
lim
k
→
∞
|
x
k
+
1
−
L
|
|
x
k
−
L
|
=
0
,
{\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=0,}
lim
k
→
∞
|
x
k
+
1
−
L
|
|
x
k
−
L
|
=
1.
{\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1.}
(
x
k
)
{\displaystyle (x_{k})}
L
{\displaystyle L}
lim
k
→
∞
|
x
k
+
1
−
x
k
|
|
x
k
−
x
k
−
1
|
=
1.
{\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-x_{k}|}{|x_{k}-x_{k-1}|}}=1.}
R収束 Q 収束率の定義には、収束はするが各ステップで漸近的に一定の率で収束しないシーケンスの収束動作を自然に捉えていないという欠点があり、そのため Q 収束の限界は存在しません。1 つの例として、1 ステップおきまたは数ステップおきにのみ限界に近づく、ずらした幾何級数があります。 以下に詳述する例 (ここで は、 床関数 は に適用されます ) がその一例です。
(
b
k
)
=
1
,
1
,
1
4
,
1
4
,
1
16
,
1
16
,
…
,
1
/
4
⌊
k
2
⌋
,
…
{\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots }
⌊
x
⌋
{\textstyle \lfloor x\rfloor }
x
{\displaystyle x}
このような場合、R収束と呼ばれる、収束率の関連は深いがより技術的な定義の方が適切である。「R」という接頭辞は「根」を意味する。 [2] [8] : 620 に収束する シーケンスは、 誤差制限シーケンスが存在し 、 かつQ 線形にゼロに収束する場合、 少なくとも R 線形に収束する と言われる 。R 超線形収束、R 亜線形収束、R 二次収束などにも類似の定義が当てはまる。 [2] [9]
(
x
k
)
{\displaystyle (x_{k})}
L
{\displaystyle L}
(
ε
k
)
{\displaystyle (\varepsilon _{k})}
|
x
k
−
L
|
≤
ε
k
for all
k
{\textstyle |x_{k}-L|\leq \varepsilon _{k}\quad {\text{for all }}k}
(
ε
k
)
{\displaystyle (\varepsilon _{k})}
R 収束の速度と次数を定義するには、 より速い速度と次数で収束する 他のエラー境界シーケンスを選択できないように選択されたエラー境界シーケンスの Q 収束の速度と次数を使用します。任意の値によって R 収束の速度と次数の下限が提供され、最大の下限によって R 収束の正確な速度と次数が与えられます。
(
ε
k
)
{\displaystyle (\varepsilon _{k})}
(
ε
k
′
)
{\displaystyle (\varepsilon '_{k})}
(
ε
k
′
)
{\displaystyle (\varepsilon '_{k})}
例 等比数列 は に収束する 。この数列をQ線型収束の定義（収束次数1）に当てはめると、次のようになる。
(
a
k
)
=
1
,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
…
,
1
/
2
k
,
…
{\textstyle (a_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots ,1/{2^{k}},\dots }
L
=
0
{\displaystyle L=0}
lim
k
→
∞
|
1
/
2
k
+
1
−
0
|
|
1
/
2
k
−
0
|
=
lim
k
→
∞
2
k
2
k
+
1
=
1
2
.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|1/2^{k+1}-0\right|}{\left|1/2^{k}-0\right|}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {2^{k}}{2^{k+1}}}={\frac {1}{2}}.}
したがって、 収束率は で Q 線形に収束します 。下の図の最初のプロットを参照してください。
(
a
k
)
{\displaystyle (a_{k})}
μ
=
1
/
2
{\displaystyle \mu =1/2}
より一般的には、任意の に対して 、等比数列は 速度 とともに線形収束し、 等比級数 の部分和の列 も速度 とともに線形収束する。任意の 複素数 によってパラメータ化された等比数列や等比級数についても、同じことが当てはまる。
a
∈
R
,
r
∈
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ,r\in (-1,1)}
(
a
r
k
)
{\displaystyle (ar^{k})}
|
r
|
{\displaystyle |r|}
(
∑
n
=
0
k
a
r
n
)
{\textstyle (\sum _{n=0}^{k}ar^{n})}
|
r
|
{\displaystyle |r|}
a
∈
C
,
r
∈
C
,
|
r
|
<
1.
{\displaystyle a\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {C} ,|r|<1.}
最小の整数を与える 床関数 を使用する スタッガード幾何級数 は、 速度 1/2 で R 線形に 0 に収束しますが、Q 線形には収束しません。下の図の 2 番目のプロットを参照してください。このシーケンスには、定義的な Q 線形収束の制限が存在しません。これは、誤差商の 1 つのサブシーケンス (奇数ステップから取得した商のシーケンス) が、別のサブシーケンス (偶数ステップから取得した商のシーケンス) とは異なる制限を持つためです。一般に、任意のスタッガード幾何級数 では 、シーケンスは Q 線形には収束しませんが、速度 で R 線形に収束します 。これらの例は、R 線形収束の「R」が「ルート」の略である理由を強調しています。
(
b
k
)
=
1
,
1
,
1
4
,
1
4
,
1
16
,
1
16
,
…
,
1
/
4
⌊
k
2
⌋
,
…
,
{\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots ,}
⌊
x
⌋
{\textstyle \lfloor x\rfloor }
x
,
{\displaystyle x,}
(
a
r
⌊
k
/
m
⌋
)
{\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}
|
r
|
m
;
{\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}
このシーケンスは
、Q 超線形にゼロに収束します。実際、これは 2 次収束率 1 で 2 次収束します。これは、下の図の 3 番目のプロットに示されています。
(
c
k
)
=
1
2
,
1
4
,
1
16
,
1
256
,
1
65
,
536
,
…
,
1
2
2
k
,
…
{\displaystyle (c_{k})={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots }
最後に、シーケンスは
Q サブ線形かつ対数的にゼロに収束し、その収束は下の図の 4 番目のプロットとして表示されます。
(
d
k
)
=
1
,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
,
…
,
1
k
+
1
,
…
{\displaystyle (d_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots ,{\frac {1}{k+1}},\ldots }
それぞれ線形、線形、超線形 (2 次)、および線形以下の収束率を示す サンプル シーケンス a k 、 b k 、 c k 、および d kのログ線形プロット。
再帰的シーケンスの固定点への収束率 再帰的シーケンスは 、 固定点反復 と呼ばれ、離散時間自律 動的システムを 定義し、 その収束動作に関するさまざまな 固定点定理を通じて数学の重要な一般応用を持っています。 f が 連続的に微分可能 で、となる 固定点 p が 与えられた場合 、固定点は 吸引固定点であり、再帰的シーケンスは、 p に十分近い 任意の開始値に対して、少なくとも線形に p に収束します 。 および の 場合、再帰的シーケンスは少なくとも二次収束し、以下同様に続きます。 の場合、固定点は 反発固定点 であり、シーケンスは、 そのすぐ近くの 近傍から p に収束することはできませんが、 局所近傍の外側から直接
p にジャンプすることはできます。
x
n
+
1
:=
f
(
x
n
)
{\textstyle x_{n+1}:=f(x_{n})}
f
(
p
)
=
p
,
{\textstyle f(p)=p,}
|
f
′
(
p
)
|
<
1
{\textstyle |f'(p)|<1}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
|
f
′
(
p
)
|
=
0
{\displaystyle |f'(p)|=0}
|
f
″
(
p
)
|
<
1
{\textstyle |f''(p)|<1}
|
f
′
(
p
)
|
>
1
{\displaystyle |f'(p)|>1}
注文見積 固定小数点反復によって生成されたシーケンスの収束順序を計算する実用的な方法は、次の順序に収束する次のシーケンスを計算することである ： [10]
q
{\displaystyle q}
q
≈
log
|
x
k
+
1
−
x
k
x
k
−
x
k
−
1
|
log
|
x
k
−
x
k
−
1
x
k
−
1
−
x
k
−
2
|
.
{\displaystyle q\approx {\frac {\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right|}{\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{k-2}}}\right|}}.}
数値的順序法による正確な値の数値近似については [11] を参照。
q
{\displaystyle q}
離散化法の収束率 関数 を近似するように設計された離散化法についても、同様の状況が存在します 。関数は、 数値積分法 によって近似される積分 、または 常微分方程式の解 (以下の例を参照) である可能性があります。離散化法では、シーケンス が生成されます。ここで、連続する各 は、 独立変数 の連続する値間の グリッド間隔とともに、 の関数です 。ここで、 への収束速度に関する重要なパラメータは、 グリッド間隔 です。これは 、グリッド ポイントの数、つまり、 の特定の値に到達するために必要なシーケンス内のポイントの数に反比例します 。
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
0
,
y
1
,
y
2
,
y
3
,
.
.
.
{\displaystyle {y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},...}}
y
j
{\displaystyle y_{j}}
y
j
−
1
,
y
j
−
2
,
.
.
.
{\displaystyle y_{j-1},y_{j-2},...}
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
この場合、 定数 C が 存在 し
、
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(x_{n})}
|
y
n
−
f
(
x
n
)
|
<
C
h
q
for all
n
.
{\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|<Ch^{q}{\text{ for all }}n.}
これはビッグオー記法 を使用して 記述されます 。
|
y
n
−
f
(
x
n
)
|
=
O
(
h
q
)
{\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\mathcal {O}}(h^{q})}
これは、数値積分 法や常微分方程式 (ODE) の解法 について議論する場合に関連する定義です。 [ 例が必要 ]
離散化法の収束次数を推定する実用的な方法は、ステップ サイズとを選択し 、 結果として生じる誤差 とを計算することです 。収束次数は次の式で近似されます。
h
new
{\displaystyle h_{\text{new}}}
h
old
{\displaystyle h_{\text{old}}}
e
new
{\displaystyle e_{\text{new}}}
e
old
{\displaystyle e_{\text{old}}}
q
≈
log
(
e
new
/
e
old
)
log
(
h
new
/
h
old
)
,
{\displaystyle q\approx {\frac {\log(e_{\text{new}}/e_{\text{old}})}{\log(h_{\text{new}}/h_{\text{old}})}},}
[ 要出典 ] これは、古いグリッド間隔と新しいグリッド間隔での切り捨て誤差を次のように表すことにより得られる。
e
=
|
y
n
−
f
(
x
n
)
|
=
O
(
h
q
)
.
{\displaystyle e=|y_{n}-f(x_{n})|={\mathcal {O}}(h^{q}).}
このエラー は、より具体的には、 グローバル切り捨てエラー(GTE) であり、1 回の反復での ローカル切り捨てエラー (LTE)とは対照的に、 すべての反復で蓄積されたエラーの合計を表します 。
e
{\displaystyle e}
n
{\displaystyle n}
離散化手法の例 常微分方程式を考える
d
y
d
x
=
−
κ
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\kappa y}
初期条件は です。 数値離散化のための
前進オイラー法を 使用して、この方程式の解を近似することができます。
y
(
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(0)=y_{0}}
y
n
+
1
−
y
n
h
=
−
κ
y
n
,
{\displaystyle {\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=-\kappa y_{n},}
これは定数係数の 一次線形回帰を意味する。
y
n
+
1
=
y
n
(
1
−
h
κ
)
.
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}(1-h\kappa ).}
が与えられたとき 、その再帰性を満たす数列は 等比数列である。
y
(
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(0)=y_{0}}
y
n
=
y
0
(
1
−
h
κ
)
n
=
y
0
(
1
−
n
h
κ
+
n
(
n
−
1
)
2
h
2
κ
2
+
.
.
.
.
)
.
{\displaystyle y_{n}=y_{0}(1-h\kappa )^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+....\right).}
微分方程式の正確な解析解は であり、 に対する 次の テイラー展開 に対応します 。
y
=
f
(
x
)
=
y
0
exp
(
−
κ
x
)
{\displaystyle y=f(x)=y_{0}\exp(-\kappa x)}
h
κ
{\displaystyle h\kappa }
h
κ
≪
1
{\displaystyle h\kappa \ll 1}
f
(
x
n
)
=
f
(
n
h
)
=
y
0
exp
(
−
κ
n
h
)
=
y
0
[
exp
(
−
κ
h
)
]
n
=
y
0
(
1
−
h
κ
+
h
2
κ
2
2
+
.
.
.
.
)
n
=
y
0
(
1
−
n
h
κ
+
n
2
2
h
2
κ
2
+
.
.
.
)
.
{\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left[\exp(-\kappa h)\right]^{n}=y_{0}\left(1-h\kappa +{\frac {h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+....\right)^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+...\right).}
この場合、切り捨て誤差は
e
=
|
y
n
−
f
(
x
n
)
|
=
n
h
2
κ
2
2
+
…
=
O
(
h
2
)
,
{\displaystyle e=|y_{n}-f(x_{n})|={\frac {nh^{2}\kappa ^{2}}{2}}+\ldots ={\mathcal {O}}(h^{2}),}
したがって、 収束率 で に収束します 。
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(x_{n})}
q
=
2
{\displaystyle q=2}
収束速度の加速 与えられたシーケンスの収束速度を上げる方法、つまり、 あるシーケンスを 、同じ極限にもっと速く収束する 2 番目のシーケンスに変換する方法は数多くあります。このような技術は一般に「 級数加速 」法と呼ばれています。これらは、 変換されたシーケンスの極限を近似する 計算コストを削減できます。級数加速の 1 つの例は、 Aitken のデルタ 2 乗プロセス です。これらの方法 (特に Aitken 法) は一般に収束の次数を上げず、収束が最初は線形よりも速くない場合にのみ有効です。つまり、が 線形に収束する場合、 (病的に設計された特殊なケースを除く) 依然として線形に収束するシーケンスが得られますが、 という意味でより高速になります 。一方、収束の次数がすでに ≥ 2 である場合、Aitken 法では改善されません。
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
lim
(
a
n
−
L
)
/
(
x
n
−
L
)
=
0
{\displaystyle \lim(a_{n}-L)/(x_{n}-L)=0}
参考文献
^ Ruye, Wang (2015-02-12). 「収束の順序と速度」 hmc.edu . 2020年7月31日 閲覧 。 ^ abcdefg Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (1999). 数値最適化 （第1版）. ニューヨーク、NY：Springer. pp. 28–29. ISBN 978-0-387-98793-4 。 ^ Senning, Jonathan R. 「収束率の計算と推定」 （PDF） 。gordon.edu 。 2020年8月7 日 閲覧 。 ^ ハンドリー、ダグラス。「収束率」 （PDF） 。 ホイットマン大学。 2020年12月13日 閲覧 。 ^ Porta, FA (1989). 「Q順序とR順序の収束について」 (PDF) . Journal of Optimization Theory and Applications . 63 (3): 415–431. doi :10.1007/BF00939805. S2CID 116192710 . 2020年7月31日 閲覧 。 ^ ab Van Tuyl, Andrew H. (1994). 「対数収束シーケンス族の収束の加速」 (PDF) . 計算数学 . 63 (207): 229–246. doi :10.2307/2153571. JSTOR 2153571 . 2020年8月2日 閲覧。 ^ アーノルド、マーク。「収束の順序」 （PDF） 。 アーカンソー大学。 2022年12月13日 閲覧 。 ^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). 数値最適化 （第2版）. ベルリン、ニューヨーク： Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-30303-1 。 ^ Bockelman, Brian (2005). 「収束率」. math.unl.edu . 2020年7月31日 閲覧 。 ^ Senning, Jonathan R. 「収束率の計算と推定」 （PDF） 。gordon.edu 。 2020年8月7 日 閲覧 。 ^ Senning, Jonathan R. 「数値収束率の検証」 （PDF） 。 2024年2月9日 閲覧。
文学 簡単な定義は
拡張定義は、
ビッグOの定義は、
Richard L. Burden および J. Douglas Faires (2001)、 『数値解析』 （ 第 7 版）、Brooks/Cole。ISBN 0-534-38216-9 Q線形 と R線形 という用語 は、
Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). 数値最適化 (第 2 版). ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . pp. 619+620. ISBN 978-0-387-30303-1 。 。
![{\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06abd59852f8c47697c7c4a123a10b497a9c027a)
![{\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left[\exp(-\kappa h)\right]^{n}=y_{0}\left(1-h\kappa +{\frac {h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+....\right)^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+...\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a76ed333f75068bd8785e96803134e094628a71)
