q値（統計）

統計的仮説検定、特に多重仮説検定では、Storey手順のq値が陽性偽陽性率（pFDR）を制御する手段を提供します。 ^[1] p値が、 p値が等しいかそれより小さい結果に対して帰無仮説を棄却することによって得られる期待偽陽性率を与えるのと同様に、q値は、 q値が等しいかそれより小さい結果に対して帰無仮説を棄却することによって得られる期待pFDRを与えます。^[2]

統計学では、単一の仮説を検定するのに適した方法を用いて複数の仮説を同時に検定すると、多くの偽陽性が生じる傾向があり、いわゆる多重比較問題となる。^[3]たとえば、すべてが正しい1,000個の帰無仮説を検定し、（単一の仮説検定で慣例となっているように）有意水準0.05で帰無仮説を棄却すると仮定すると、偶然の一致により、結果の5%が有意（P < 0.05）となることが予想され、50個の偽陽性（帰無仮説の棄却）が生じる。^[4] 1950年代以降、統計学者は、ボンフェローニ補正を用いてファミリーワイズ誤差率（FWER）を制御するなど、偽陽性の数を減らす多重比較の方法を開発してきたが、これらの方法は偽陰性の数も増やした（すなわち、統計的検出力を低下させた）。^[3] 1995年、ヨアヴ・ベンジャミニとヨセフ・ホッホバーグは、多重仮説検定において、FWERを制御するよりも統計的に強力な代替手段として、偽発見率（FDR）を制御することを提案した。 ^[3] pFDRとq値は、陽性結果がない場合にはFDRが定義されないというFDRの限界を改善するために、2002年にジョン・D・ストアイによって導入された。 ^{[1] [5]}

帰無仮説と対立仮説 があるとします。仮説検定を行い、検定統計量をとなるiid ランダム変数とします。つまり、検定( ) について が真であれば、帰無分布に従い、 が真 ( ) であれば、対立分布 に従います。つまり、各検定について が確率 で真であり、 が確率 で真であるとします。有意水準での臨界領域(の値が棄却される)を で表します。実験により検定統計量の値が得られたとします。のq値は正式には次のように定義されます。 ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{m}}$${\displaystyle T_{i}\mid D_{i}\sim (1-D_{i})\cdot F_{0}+D_{i}\cdot F_{1}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle D_{i}=0}$${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle D_{i}=1}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle D_{i}\sim \operatorname {ベルヌーイ} (\pi _{1})}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle \pi_{1}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \pi _{0}=1-\pi _{1}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \Gamma _{\alpha }}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \inf _{\{\Gamma _{\alpha }:t\in \Gamma _{\alpha }\}}\operatorname {pFDR} (\Gamma _{\alpha })}$

つまり、 が値 を持つ検定統計量で棄却される場合、 q値はpFDR の下限値となります。同様に、q値は ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \geq t}$

${\displaystyle \inf _{\{\Gamma _{\alpha }:t\in \Gamma _{\alpha }\}}\Pr(H=0\mid T\in \Gamma _{\alpha })}$

これは、が棄却された場合に真となる確率の下限値（偽発見率）である。^[1]${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$

p値は次のように定義される 。

${\displaystyle \inf _{\{\Gamma _{\alpha }:t\in \Gamma _{\alpha }\}}\Pr(T\in \Gamma _{\alpha }\mid D=0)}$

が真である場合に棄却される確率の下限（偽陽性率）。p値とq値の定義を比較すると、 q値はが真である最小事後確率であることがわかります。^[1]${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$

q値は偽陽性率（FDR）として解釈することができます。これは、すべての陽性結果のうち偽陽性の割合です。一連の検定統計量とそれに関連するq値が与えられた場合、 q値が特定の閾値以下であるすべての検定について帰無仮説を棄却すると、偽陽性率の期待値がであることが保証されます。^[6]${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$

ゲノムワイドな遺伝子発現差の解析では、数千の遺伝子の発現を同時に検査します。FWER（通常は0.05）を制御すると、過度の偽陽性（つまり、発現差のない遺伝子の発現差の検出）を回避できますが、p値に厳しい閾値が課せられ、偽陰性（発現差のある遺伝子の多くが見落とされる）が多くなります。しかし、有意なq値を持つ遺伝子を選択してpFDRを制御すると、偽陰性の数が減り（統計的検出力が増し）、すべての陽性結果のうち偽陽性の割合の期待値が低くなります（たとえば5％）。^[6]

たとえば、テストされた 10,000 個の遺伝子のうち、1,000 個は実際に異なる発現を示し、9,000 個はそうではないとします。

• p値が 0.05 未満のすべての遺伝子を差次的発現していると見なすと、差次的発現していない 9,000 個の遺伝子のうち 450 個 (5%) が差次的発現しているように見える (450 個の偽陽性) ことが予想されます。
• FWER を 0.05 に制御すると、少なくとも 1 つの偽陽性が得られる確率は 5% になります。ただし、この非常に厳しい基準により検出力が低下し、実際に差次的に発現している 1,000 個の遺伝子のうち、差次的に発現しているように見える遺伝子はごくわずかになります (偽陰性が多くなります)。
• q値が 0.05 未満のすべての遺伝子を差次的に発現していると見なして pFDR を 0.05 に制御すると、陽性結果の 5% が偽陽性になると予想されます (例: 真陽性 900 件、偽陽性 45 件、偽陰性 100 件、真陰性 8,955 件)。この戦略により、偽陽性と偽陰性の両方の数が比較的少なくなります。

注: 以下は不完全なリストです。

• Rのqvalueパッケージはp値のリストからq値を推定します。^[7]