ヒステリシスのプライザッハモデル

電磁気学において、ヒステリシスのプライザッハモデルは磁気ヒステリシスのモデルである。元々、ヒステリシスを、独立したリレーヒステロンの並列接続として磁性体の磁場と磁化の関係として一般化した。1935年にドイツの学術誌Zeitschrift für Physikで、フランツ・プライザッハが初めて提案した。^[1]強磁性の分野では、プライザッハモデルは、それぞれが または の値に磁化された、独立して動作する小さなドメインのネットワークとして強磁性体を記述するものと考えられることがある。例えば、鉄のサンプルは、均一に分布した磁区を持つ可能性があり、その結果、正味の磁気モーメントはゼロになる。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle -h}$

数学的に類似したモデルは、科学や工学の他の分野でも独立して開発されてきたようです。注目すべき例の 1 つは、エヴェレットと同僚が開発した多孔質材料の毛細管ヒステリシスのモデルです。それ以来、M. クラスノセルキ、A. ポクロフスキー、A. ヴィシンティン、ID マイヤーゴイズなどの研究により、このモデルはさまざまな種類のヒステリシス現象を記述するための一般的な数学的ツールとして広く受け入れられるようになりました。^{[2] [3]}

リレーヒステロンは、プライザッハモデルの基本的な構成要素です。リレーヒステロンは、で表される2 値演算子として記述されます。リレーヒステロンの I/O マップは、次に示すようにループの形をとります。 ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

上記のマグニチュード 1 のリレーは、「スイッチオフ」しきい値を定義し、「スイッチオン」しきい値を定義します。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

図で表すと、が より小さい場合、出力は「低」または「オフ」になります。 を増加させると、 に達するまで出力は低のままです。 に達した時点で、出力は「オン」に切り替わります。 をさらに増加し​​ても変化はありません。 を減少させると、は再び に達するまで低くなりません。リレー演算子はループのパスを取り、次の状態は過去の状態によって決まることは明らかです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

数学的には、 の出力は次のように表現されます。 ${\displaystyle R_{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle y(x)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}x\geq \beta \\0&{\mbox{ if }}x\leq \alpha \\k&{\mbox{ if }}\alpha <x<\beta \end{cases}}}$

ここで、前回が境界 の外側にあった場合は、 の領域内であり、前回が境界 の外側にあった場合は、 の領域内でした。 ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha <x<\beta }$${\displaystyle x\leq \alpha }$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha <x<\beta }$${\displaystyle x\geq \beta }$

このヒステロンの定義は、完全なヒステリシス ループの現在の値が入力変数の履歴に依存することを示しています。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Preisach モデルは、並列に接続され、重みが与えられ、合計された多数のリレー ヒステロンで構成されます。これは、ブロック図で視覚化できます。

これらのリレーはそれぞれ異なるしきい値と閾値を持ち、 によってスケールされます。 が増加すると、真のヒステリシス曲線がより適切に近似されます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle N}$

が無限大に近づく極限では、連続的なプライザッハモデルが得られる。^{[4] [5]}${\displaystyle N}$

${\displaystyle y(t)=\iint _{\alpha \geq \beta }\mu (\alpha ,\beta )R_{\alpha \beta }x(t)d\alpha d\beta }$

Preisach モデルを見る最も簡単な方法の 1 つは、幾何学的解釈を使用することです。座標平面を考えてみましょう。この平面では、各ポイントは特定のリレー ヒステロンにマッピングされます。各リレーは、その値とともに、このいわゆる Preisach 平面上にプロットできます。リレー ヒステロンは、Preisach 平面上の分布に応じて、ヒステリシスを高い精度で表現できます。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$${\displaystyle R_{\alpha _{i},\beta _{i}}}$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

他のケースには自然界に物理的に相当するものがないため、 ここでは半平面のみを考慮します。${\displaystyle \alpha <\beta }$

次に、半平面上の特定の点を取り、その点から直線まで軸に平行な 2 本の線を描いて直角三角形を作成します。 ${\displaystyle \alpha =\beta }$

ここで、 と表記される Preisach 密度関数を示します。この関数は、 の各異なる値のリレーヒステロンの量を表します。デフォルトでは、直角三角形の外側では であるとします。 ${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$${\displaystyle \mu (\alpha ,\beta )=0}$

古典的なプライザッハモデルの修正された定式化が提示され、エヴェレット関数の解析的表現が可能になりました。^{[6]これにより、モデルは大幅に高速化され、特に}電磁場計算や電気回路解析コード に組み込むのに適しています。

ベクトル プライザッハ モデルは、スカラー モデルの線形重ね合わせとして構築されます。^[7]材料の一軸異方性を考慮するために、エベレット関数はフーリエ係数によって展開されます。この場合、測定された曲線とシミュレーションされた曲線は非常によく一致しています。^[8] 別のアプローチでは、3D 入力空間で定義された閉じた表面である異なるリレー ヒステロンを使用します。一般に、球状ヒステロンは 3D のベクトル ヒステリシスに使用され、^[9]円形ヒステロンは 2D のベクトル ヒステリシスに使用されます。^[10]

プライザッハモデルは、塩分やナトリウム濃度の結果としての土壌透水係数の不可逆的な変化の研究^[11]、土壌水分保持のモデリング^{[12] [13] [14] [15]}、土壌や岩石構造に対する応力と歪みの影響など、さまざまな分野でヒステリシスをモデル化するために適用されています。^[16]

• ジレス・アサートンモデル
• ストーナー・ヴォールファールトモデル

• コーク大学ヒステリシスチュートリアル
• ハンガリー、ブダペスト工科経済大学 Zs. Szabó が開発した Preisach モデルの Matlab 実装。
• [1] Preisach モデルの Python 実装。
• [2] プライザッハモデルのMatlab実装。