述語（数学的論理）

論理学において、述語は特性または関係を表す記号です。たとえば、一階述語の論理式 では、記号は個々の定数に適用される述語です。同様に、論理式では、記号は個々の定数およびに適用される述語です。 ${\displaystyle P(a)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle R(a,b)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ゴットロープ・フレーゲによれば、述語の意味はまさにオブジェクトの領域から真理値「真」と「偽」への関数です。

論理の意味論では、述語は関係として解釈されます。たとえば、一階述語論理の標準的な意味論では、とで表されるエンティティがで表される関係にある場合、式は解釈において真になります。述語は非論理記号であるため、与えられた解釈に応じて異なる関係を表すことができます。一階述語論理には個々のオブジェクトに適用される述語のみが含まれますが、他の論理では、他の述語によって定義されたオブジェクトのコレクションに適用される述語が許可される場合があります。 ${\displaystyle R(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

述語は、述語変数と呼ばれることもある変数を含むステートメントまたは数学的な主張であり、それらの変数の値に応じて真または偽になります。

• 命題論理では、原子式はゼロ位述語とみなされることがあります。^[1]ある意味では、これらはヌル項（つまり、0項性）述語です。
• 一階述語論理では、述語を適切な数の項に適用すると原子式が形成されます。
• 排中律を伴う集合論では、述語は特性関数または集合指示関数（つまり、集合の要素から真理値への関数）であると理解されます。集合構築記法では、述語を使用して集合を定義します。
• 排中律を否定する自己認識論理では、述語は真、偽、または単に不明である可能性がある。特に、与えられた事実の集合は、述語の真偽を判断するのに不十分な場合がある。
• ファジー論理では、述語の厳密な真偽の評価は、真実の度合いとして解釈される量に置き換えられます。

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