非論理記号

数理論理学、特にモデル理論において、非論理記号とは、モデルによって解釈が変わる形式言語の要素である。一階述語論理では、これらは通常、定数記号、関数記号、述語から構成される。これは、論理結合子や量化子など、あらゆるモデルにおいて同じ解釈を持つことが求められる論理定数とは対照的である。

非論理記号は、解釈によって意味が割り当てられる場合にのみ意味または意味内容を持つ。したがって、非論理記号を含む文は、解釈の下でのみ意味を持つため、文は解釈の下で真または偽であると言われる。これらの概念は、一階述語論理に関する記事、特に構文に関するセクションで定義および議論されている。

等号は、非論理記号として扱われる場合と、論理記号として扱われる場合がある。論理記号として扱われる場合は、真の等号を用いて等号を解釈する必要がある。非論理記号として解釈される場合は、任意の同値関係によって解釈される可能性がある。

シグネチャとは、非論理定数の集合と、各記号が定数記号、特定のアリティn (自然数) の関数記号、または特定のアリティの関係記号のいずれかであることを示す追加情報から構成されます。追加情報によって、非論理記号を使用して項や式を構成する方法が制御されます。例えば、fが二項関数記号でcが定数記号の場合、f ( x , c ) は項ですが、c ( x , f ) は項ではありません。関係記号は項には使用できませんが、アリティに応じて 1 つ以上の項を組み合わせて原子式を構成するために使用できます。  

例えば、署名は、二項関数記号「+」、定数記号「0」、および二項関係記号「<」で構成される場合があります。

署名上の構造（モデルとも呼ばれる）は、署名とその上の第一階言語に形式的な意味論を提供する。

シグネチャ上の構造は、セットから構成される。${\displaystyle D}$（議論領域として知られる）非論理記号の解釈とともに：すべての定数記号は、要素によって解釈されます。${\displaystyle D}$そして解釈${\displaystyle n}$-ary 関数記号は${\displaystyle n}$-ary 関数${\displaystyle D;}$つまり、関数${\displaystyle D^{n}\to D}$から${\displaystyle n}$ドメインとドメイン自体のデカルト積を折り畳みます。${\displaystyle n}$-項関係記号は、${\displaystyle n}$ドメイン上の 1 項関係。つまり、サブセットによる${\displaystyle D^{n}.}$

上記のシグネチャ上の構造の一例として、整数の順序群が挙げられます。その定義域は集合です。${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}}$整数の。バイナリ関数記号${\displaystyle +}$は加算によって解釈され、定数記号 0 は加法単位元によって解釈され、二項関係記号 < はより小さい関係によって解釈されます。

数学的な文脈以外では、より非公式な解釈を用いる方が適切な場合が多い。

ルドルフ・カルナップは、ある種の解釈の下で、形式体系における論理記号と非論理記号（彼が記述記号と呼んだもの）を区別する用語を導入した。この解釈は、それらが世界で何を記述しているかによって定義される。

記述記号とは、形式言語において、世界における事物や過程、あるいは事物の性質や関係性を表す記号のことである。これは、対象の世界において何物も表さない論理記号とは対照的である。論理記号の使用は言語の論理規則によって決定されるが、記述記号の意味は、特定の個人の領域に適用されたときに恣意的に付与される。^{[ 1 ]}

• 論理定数

注記

• Hinman, P. (2005), 『数理論理学の基礎』、AK Peters、ISBN 978-1-56881-262-5

• 古典論理学における意味論のセクション（スタンフォード哲学百科事典の項目）