べき乗自己同型

数学の群論の領域では、群のべき自己同型とは、群の各部分群をそれ自身の中に収める自己同型である。無限群のべき自己同型は、各部分群上の自己同型に制限されない場合がある。たとえば、各数をその倍数に写す有理数上の自己同型は、各部分群上の自己同型に制限されないが、べき自己同型である。

あるいは、べき自己同型は、群の各要素をその要素の何らかのべき乗に当てはめる自己同型として特徴付けられます。これが、べきという用語の選択を説明しています。群のべき自己同型は、自己同型群全体の部分群を形成します。この部分群は と表され、は群です。 ${\displaystyle Pot(G)}$${\displaystyle G}$

普遍べき自己同型とは、各要素のべき乗が同じであるべき自己同型です。たとえば、各要素はその 3 乗になることがあります。べき乗指数に関する事実をいくつか示します。

• べき乗指数は各要素の位数と互いに素でなければなりません。特に、群が有限である場合、群の位数と互いに素でなければなりません。
• 群がアーベル群である場合、任意のべき乗指数が機能します。
• べき乗指数 2 または -1 が機能する場合、そのグループはアーベル群です。

べき自己同型群は、自己同型群の部分群として見ると、内部自己同型群と可換である。したがって、特に、内部でもあるべき自己同型は、上中心級数の 2 番目のグループの要素による共役として発生するはずです。

• Roland Schmidt による群の部分群格子 (PDF ファイル)