逆ラプラス変換

数学において、関数の逆ラプラス変換は、区分的に連続し、指数的に制限される（つまり、いくつかの定数およびに対して）実関数であり、次の特性を備えています。 ${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle |f(t)|\leq Me^{\alpha t}}$ ${\displaystyle \forall t\geq 0}$${\displaystyle M>0}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),}$

ここで はラプラス変換を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

関数が逆ラプラス変換 を持つ場合、 は一意に決定されることが証明できます（ルベーグ測度がゼロである点集合上でのみ互いに​​異なる関数を同じと見なした場合）。この結果は、1903年にマティアス・レルヒによって初めて証明され、レルヒの定理として知られています。^{[1] [2]}${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)}$

ラプラス変換と逆ラプラス変換は、線形動的システムの解析に役立ついくつかの特性を持っています。

逆ラプラス変換の積分公式は、メリンの逆公式、ブロムウィッチ積分、またはフーリエ-メリン積分と呼ばれ、線積分で与えられます。

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

ここで、積分は複素平面上の垂直線に沿って行われ、は のすべての特異点の実部よりも大きく、は線上で有界となります。たとえば、等高線経路が収束領域内にある場合などです。すべての特異点が左半平面内にある場合、または が整関数である場合、 をゼロに設定することができ、上記の逆積分式は逆フーリエ変換と同一になります。 ${\displaystyle Re(s)=\gamma }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \gamma}$

実際には、複素積分の計算はコーシー留数定理を使用して行うことができます。

エミール・ポストにちなんで名付けられたポストのラプラス変換の逆変換公式^[3]は、逆ラプラス変換を評価するための一見単純だが通常は実用的ではない公式である。

式の記述は次の通りである。 を指数関数の 区間上の連続関数とする。すなわち${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}}\infty }$

ある実数 に対して が成り立つ。すると、すべての に対して のラプラス変換が存在し、 に関して無限に微分可能である。さらに、が のラプラス変換である場合、 の逆ラプラス変換は次のように与えられる。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle s>b}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle F(s)}$

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}$

について、 は のに関する- 次導関数です。 ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle F^{(k)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle s}$

式からわかるように、任意の高次の導関数を評価する必要があるため、この式はほとんどの目的には実用的ではありません。

高性能なパーソナルコンピュータの出現により、この公式を使用する主な取り組みは、グルンワルド-レトニコフの微分積分を使用して導関数を評価する、逆ラプラス変換の近似または漸近解析を扱うことから始まりました。

ポストの逆変換は、計算科学の進歩と、の極がどこにあるかを知る必要がないという事実により関心を集めており、これにより、リーマン予想に関連するいくつかの算術関数の逆メリン変換を使用してbig の漸近挙動を計算できるようになりました。 ${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle x}$

• InverseLaplaceTransform はMathematicaでシンボリック逆変換を実行します。
• Mathematicaの複素領域を用いた多倍長ラプラス変換の数値逆変換は数値解を与える^[4]
• ilaplace Archived 2014-09-03 at the Wayback Machine MATLABでシンボリック逆変換を実行する
• Matlab でのラプラス変換の数値逆変換
• Matlab の集中行列指数関数に基づくラプラス変換の数値逆変換

• 逆フーリエ変換
• ポアソン和公式

• Davies, BJ (2002)、積分変換とその応用（第3版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95314-4
• マンジロフ、AV; Polyanin、Andrei D. (1998)、積分方程式ハンドブック、ロンドン: CRC Press、ISBN 978-0-8493-2876-3
• ボアス、メアリー（1983）、物理科学における数学的手法、ジョン・ワイリー＆サンズ、p. 662、ISBN 0-471-04409-1(p. 662 または索引で「ブロムウィッチ積分」を検索してください。フーリエ変換との関連を示すわかりやすい説明です)
• Widder, DV (1946)、『ラプラス変換』、プリンストン大学出版局
• ラプラス変換の基本逆変換。Bryan, Kurt。2006 年 6 月 14 日にアクセス。

• EqWorld: 数式の世界における積分変換の表。

この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Mellin の逆公式の資料が組み込まれています。