ポロメカニクス

ポロメカニクスは物理学の一分野であり、特に連続体力学で、流体で飽和した多孔質媒体の挙動を研究する。^[1]多孔質媒体または多孔質材料は、流体で満たされた相互接続された細孔または空隙のネットワークが浸透しているマトリックスを構成する固体である。一般に、流体は液体または気体相、またはその両方で構成される。最も単純なケースでは、固体マトリックスと細孔空間の両方が、2つの別個の連続接続された領域を構成する。このような多孔質材料の典型的な例は、2つの相互浸透する連続体で形成されるキッチンスポンジである。一部の多孔質媒体は、たとえば細孔空間が切断されているなど、より複雑な微細構造を持つ。外部と流体を交換できない細孔空間は、閉塞細孔空間と呼ばれる。あるいは、粒状多孔質媒体の場合、固体相は「粒子」と呼ばれる切断された領域を構成することがあり、圧縮下では荷重を支えるが、せん断されると流動することができる。

岩石^[2] 、土壌^[3] 、心臓^[4]や海綿骨^[5]などの生物組織、 [6]などの天然物質、および泡、セラミック、コンクリート^[6]などの人工材料は、多孔質媒体と考えることができます。固体マトリックスが弾性で流体が粘性である多孔質媒体は、多孔粘弾性媒体と呼ばれます。多孔粘弾性媒体は、多孔度、透過性、およびその構成要素である固体マトリックスと流体の特性によって特徴付けられます。固体マトリックス内の細孔、流体圧力、および応力の分布により、バルクの粘弾性挙動が生じます。^[7]細孔空間が単一の流体相、通常は液体で満たされている多孔質媒体は、飽和していると考えられます。細孔空間が部分的にのみ流体である多孔質媒体は、不飽和であることが知られています。

多孔質媒体の概念は、もともと土質力学、特に土質力学の父であるカール・フォン・テルツァギの著作の中で生まれました。 ^[8]しかし、その性質や用途とは関係なく、より一般的な多孔質弾性媒体の概念は、ベルギー系アメリカ人のエンジニアであるモーリス・アンソニー・ビオ（1905–1985）に帰せられるのが一般的です。1935年から1962年にかけて発表された一連の論文で、ビオは、多孔質弾性媒体の機械的挙動を完全かつ一般的に説明する動的多孔質弾性理論（現在ではビオ理論として知られています）を開発しました。[ ^{9] [ 10] [11] [12] [13]}ビオの多孔質弾性の線形理論の方程式は、固体マトリックスの線形弾性方程式、粘性流体のナビエ・ストークス方程式、および 多孔質マトリックスを通る流体の流れに関するダルシーの法則から導出されています。

多孔質弾性理論の重要な発見の 1 つは、多孔質弾性媒体には 3 種類の弾性波が存在するという点です。せん断波または横波と、ビオがタイプ I 波とタイプ II 波と呼んだ 2 種類の縦波または圧縮波です。横波とタイプ I (または高速) 縦波は、それぞれ弾性固体の横波と縦波に似ています。低速の圧縮波 (ビオの低速波) は多孔質弾性材料に特有のものです。ビオの低速波の予測は、トーマス・プローナが 1980 年に実験的に観測するまで論争を巻き起こしました。^[14]多孔質弾性理論の初期の重要な貢献者には、ヤコフ・フレンケルとフリッツ・ガスマンがいます。^{[15] [16] [17]}

高速の圧縮波とせん断波から減衰率の高い低速の圧縮波へのエネルギー変換は、多孔質媒体における弾性波減衰の大きな原因です。

拍動する心筋を通る血流のモデル化など、多孔質弾性の生物学への最近の応用では、方程式を非線形（大変形）弾性に拡張し、慣性力を考慮する必要もありました。

ポロメカニクスは、多孔質体内の固体および流体相の負荷と、固体骨格および細孔空間の変形を関連付けます。多孔質媒体の代表的な基本体積(REV) と、骨格および接続された細孔の領域の重ね合わせを図 1 に示します。材料の変形を追跡するには、固体マトリックスと細孔空間に対応するサブボリュームを適切に割り当てるように注意する必要があります。これを行うには、細孔空間を構成する REV の割合を測定する多孔度を導入すると便利です。変形する材料体積の多孔度を追跡するために、力学専門家は次の 2 つの記述を考慮します。^[1]

• オイラー多孔度 は、現在の構成または変形された構成に対する多孔度を測定します。具体的には、 が変形された材料本体内の微小体積を表す場合、細孔容積は から計算されます。${\displaystyle n(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}}$${\displaystyle n(\mathbf {x} )\mathrm {d} V_{t}}$
• ラグランジュ多孔度 は、初期または変形されていない構成に対する多孔度を測定します。ラグランジュ多孔度の記述では、細孔容積は によって測定されます。ここで、 は変形されていない状態の材料の微小容積を表します。${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )\mathrm {d} V_{0}}$${\displaystyle \mathrm {d} V_{0}}$

多孔性のオイラーとラグランジアンの記述は、次のことに注意することで容易に関連付けることができます。

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=n(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} V_{t}}{\mathrm {d} V_{0}}}=J( \mathbf {x} )n(\mathbf {x} ),}$

ここで、 は変形のヤコビアンで、 は変形勾配です。小さなひずみの線形変形理論では、体積比は で近似され、 は微小体積ひずみです。REV の細孔空間のもう 1 つの便利な記述子は、空隙比です。これは、細孔の現在の体積と固体マトリックスの現在の体積を比較します。したがって、空隙比はオイラー基準系で定義され、次のように計算されます。 ${\displaystyle J=\det(\mathbf {F} )}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle J\simeq (1+\epsilon _{\mathrm {v} })}$${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {v} }}$

${\displaystyle e={\frac {n}{1-n}},}$

ここで、固体骨格が占める体積の割合を測定します。 ${\displaystyle 1-n}$

多孔質媒体の材料要素が変形すると、i) 材料の観察可能なマクロ的な膨張と ii) 材料の固体骨格の体積膨張により多孔度が変化する。後者は、材料のバルク構造の実験からは評価できない。微小材料要素の固体骨格の体積は で表され、変形した材料と変形していない材料の総体積と次のように関係している。 ${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle \mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }=(1-n)\mathrm {d} V_{t}=\mathrm {d} V_{t}-\phi \mathrm {d} V_{0}}$

ここで、ラグランジュ多孔度の定義ではさらに が必要です。したがって、無限小ひずみ理論の仮定の下では、材料要素の全体積ひずみは、次のように固体マトリックスと細孔空間のひずみ寄与に分離できます。 ${\displaystyle 1-\phi _{0}=\mathrm {d} V_{0}^{\mathrm {s} }/\mathrm {d} V_{0}}$

${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {v} }=\underbrace {(1-\phi _{0})\epsilon _{\mathrm {s} }} _{\text{solid}}+\underbrace {\phi -\phi _{0}} _{\text{pore}},}$

ここで、は固体に作用する線形化された体積ひずみとして認識されます。 ${\displaystyle \epsilon _{\mathrm {s} }=\mathrm {d} V_{t}^{\mathrm {s} }/\mathrm {d} V_{0}^{\mathrm {s} }-1}$

多孔質弾性固体のひずみを線形化する場合、いくつかの条件が満たされる必要があります。まず、一般的な連続体固体の要件と同様に、変位勾配は小さく、 でなければなりません。次に、固体および細孔容積の変化がさらに小さいことを保証するために、固体の変位場 は、粒径 (粒状材料の場合) または固体マトリックス (連続固体相の場合) を定義する特性長さスケール と比較して小さくなければなりません。この 2 番目の要件は と表現され、ラグランジュ多孔度 の変化が小さいことを意味します。 ${\displaystyle ||\nabla \mathbf {u} ||\ll 1}$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {s} }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle ||\mathbf {u} _{\mathrm {s} }/L||\ll 1}$${\displaystyle (\phi -\phi _{0})/\phi _{0}\ll 1}$

多孔質固体の線形弾性特性を測定する場合、通常、次の 2 つの限界ケースのいずれかで実験室実験が実行されます。

• 多孔質弾性固体は、多孔質固体の領域と外部との間で流体の交換が急速に起こり、細孔空間内の流体圧力が一定に保たれる排水条件下で荷重を受ける。このようなシステムは開放系であると考えられる。${\displaystyle \mathrm {d} p=0}$

• 多孔質弾性固体は、多孔質固体と外部との間の流体交換が不可能な非排水条件下で荷重を受けます。ここで、 は流体の局所質量です。非排水条件下で荷重を受けた飽和多孔質弾性固体は、通常、流体圧力の大きな変化を経験します。このようなシステムは、閉鎖系であると考えられます。${\displaystyle \mathrm {d} m_{\mathrm {f} }=0}$${\displaystyle m_{\mathrm {f} }}$

ドイツの水理・土質技術者であるラインハルト・ウォルトマン（1757-1837）は、土壌水分と見かけの凝集力の関係に関する研究の中で、多孔質媒体内の体積分率と内部摩擦角の概念を初めて導入しました。^[18]彼の研究は、擁壁に対する土圧の計算を扱っていました。フランスの地質学者で鉱物学者のアシール・ドゥレス（1817-1881）は、気孔のサイズ、形状、方向がランダムに分布している場合、空隙の体積分率（体積多孔度とも呼ばれる）は、空隙の表面分率（面積多孔度とも呼ばれる）に等しいと推論しました。^{[19]フランスの水理技術者である} ヘンリー・ダーシー（1803-1858）は、天然の砂を使ったテストで、流量と水圧の低下の間に比例関係があることを観察しました。これは現在、ダーシーの法則として知られています。^[20]飽和した変形可能な多孔質固体に関する最初の重要な概念は、オーストリアの技術者カール・フォン・テルツァギ（1883-1963）によって導入された有効応力の原理であると考えられる。テルツァギは、非圧縮性成分を含む多孔質媒体の固体骨格が受ける平均有効応力 は、体積要素に作用する全応力 から、間隙空間に作用する流体の圧力 を引いたものであると仮定した。^[21]テルツァギは、有効応力の概念を流体の流れに関するダルシーの法則と組み合わせ、間隙流体が排出されるときの土壌の時間依存変形を説明する1次元圧密理論を導出した。これは、多孔質媒体における連成水力学的問題に関する最初の数学的論文であると考えられる。 ${\displaystyle \sigma '=\sigma -p}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle p}$

• 岩石物理学
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• 多孔質弾性
• 多孔質媒体を通る流体の流れ
• 透過性（材料科学）
• ダーシーの法則

• Rice JR、Cleary MP (1976)。「圧縮性成分を含む流体飽和弾性多孔質媒体のいくつかの基本的な応力拡散解」。地球物理学および宇宙物理学のレビュー。14 ( 2 ): 227–241。Bibcode :1976RvGSP..14..227R。doi : 10.1029/RG014i002p00227。
• Bourbie T、Coussy O、Zinszner B (1987)。多孔質媒体の音響。ヒューストン: Gulf Publication Company。
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• Chapelle D、 Moireau P (2014)。「多孔質流れと超弾性定式化の一般的な結合：熱力学原理からエネルギーバランスと互換性のある時間スキームまで」。European Journal of Mechanics B。46：82–96。Bibcode ：2014EuJMB..46...82C。doi ：10.1016/ j.euromechflu.2014.02.009。

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