ポリニャックの予想

数論において、ポリニャック予想は1849年にアルフォンス・ド・ポリニャックによって提唱され、次のように述べられている。 ^{[ 1 ]}

任意の正の偶数nに対して、サイズnの素数ギャップは無限に存在する。言い換えれば、差がnである 2 つの連続する素数の場合が無限に存在する。^{[ 2 ]}

この予想は、 nの任意の値に対してまだ証明も反証もされていませんが、2013 年にYitang Zhangが重要なブレークスルーを達成し、 n < 70,000,000のある値に対して、サイズnの素数ギャップが無限に存在することを証明しました。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}同年後半、James Maynard は、 600 以下のサイズの素数ギャップが無限に存在することを証明する関連するブレークスルーを発表しました。^{[ 5 ]} Zhang の発表から 1 年後の 2014 年 4 月 14 日現在、Polymath プロジェクトの wikiによると、nは 246 に削減されています。^{[ 6 ]}さらに、Elliott–Halberstam 予想とその一般化された形式を仮定すると、Polymath プロジェクトの wiki では、nはそれぞれ 12 と 6 に削減されていると述べています。^{[ 7 ]}

n = 2の場合、これは双子素数予想です。n = 4 の場合、これは( p , p + 4) のいとこ素数が無限に存在することを示しています。n = 6 の場合、これはpとp + 6 の間に素数が存在しないセクシー素数( p , p + 6) が無限に存在することを示しています。           

ディクソンの予想は、ポリニャックの予想を一般化して、すべての素数星座を網羅するものである。

1966年、陳静潤はポリニャック予想のやや弱いバージョンを証明した。すなわち、 p+kが素数であるか、または素因数が最大2つ（半素数）の平方因子を持たない数となるような素数pは無限に存在する。^{[ 8 ]}

させて${\displaystyle \pi _{n}(x)}$nが偶数の場合、xより小さいnサイズの素数ギャップの数をとする。

ハーディ・リトルウッドの第一予想によれば、漸近密度は次の形式である。

$\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

ここで、C _nはnの関数であり、${\displaystyle \sim }$これは、2 つの式の商がx が無限大に近づくにつれて 1に近づくことを意味します。^{[ 9 ]}

C ₂は双子素数定数です

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

ここで、積はすべての素数p ≥ 3 に及ぶ。

C _nは、C _2にnの奇素因数qに依存する数を掛けたものです。

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

例えば、C ₄ = C ₂ およびC ₆ = 2 C ₂です。双子素数は従兄弟素数と同じ密度を持ち、セクシー素数の半分の密度を持つと予想されています。

nの各奇素因数qは、双子素数と比較して、予想密度を 1 倍増加させることに注意してください。${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ヒューリスティックな議論が続く。これは証明されていない仮定に基づいているため、結論は推測のままである。ランダムな「潜在的な」双子素数ペアにおいて、ランダムな奇素数q がaまたはa + 2のいずれかを割り切る確率は${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$q はaからa + q − 1 までの q 個の数の 1 つを割り切るので、次のようになります。ここで、q が n を割り切ると仮定し、素数のペア( a 、 a + n ) を考えます。qがa + nを 割り切るのは、 qがaを割り切る場合のみであり、その確率は          ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$（ a、a + n）が因子qを含まない確率を、（ a、a + 2 ）がqを含まない確率で割ると、次のようになる。     ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$で割った${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$これは${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$これは、 推測される素数密度に反映されます。n = 6の場合 、議論は次のように単純化されます。aが乱数である場合、3 がaまたはa  + 2 を割り切る確率は 2/3 ですが、 aとa + 6 を割り切る確率は 1/3 しかないため、後者のペアが両方とも素数である可能性が 2 倍高いと推測されます。  

• アルフォンス・ド・ポリニャック、Recherches nouvelles sur les nombres premiers。Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• ワイスタイン、エリック・W. 「ド・ポリニャック予想」。マスワールド。
• Weisstein, Eric W. 「k-タプル予想」 . MathWorld .