ポルケの定理

ポールケの定理は、軸測測の基本定理です。1853年にドイツの画家で記述幾何学 の教師であったカール・ヴィルヘルム・ポールケによって確立されました。定理の最初の証明は、ポールケの弟子であったドイツの数学者ヘルマン・アマンダス・シュワルツによって1864年に発表されました。そのため、この定理はポールケとシュワルツの定理とも呼ばれることがあります。

• 点 を原点とする平面上の、直線に含まれない任意の 3 つの線分は、立方体の3 つの辺の平行射影と見なすことができます。${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$${\displaystyle {\overline {O}}}$${\displaystyle OU,OV,OW}$

単位立方体のマッピングでは、空間または平面のいずれかで追加のスケーリングを適用する必要があります。平行投影とスケーリングでは比率が維持されるため、以下の軸測投影手順で任意の点をマッピングできます。 ${\displaystyle P=(x,y,z)}$

ポールケの定理は、線形代数では次のように表現できます。

• 3次元空間から平面へのアフィン写像は相似と平行投影の合成として考えることができる。[ 1 ^]

ポールケの定理は、座標を使用して3次元オブジェクトのスケール付き平行投影を構築するための次の簡単な手順を正当化するものである。^{[2] [3]}

1. 線に含まれない座標軸の画像を選択します。
2. 短縮の座標軸を選択します${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. 点のイメージは、点から始まる 3 つのステップによって決定されます。${\displaystyle {\overline {P}}}$${\displaystyle P=(x,y,z)}$${\displaystyle {\overline {O}}}$

-方向に進み、${\displaystyle v_{x}\cdot x}$${\displaystyle {\overline {x}}}$

-方向に進み、${\displaystyle v_{y}\cdot y}$${\displaystyle {\overline {y}}}$

-方向に進み、${\displaystyle v_{z}\cdot z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$

4. ポイントを としてマークします。${\displaystyle {\overline {P}}}$

歪みのない画像を得るためには、軸の画像と短縮を慎重に選択する必要があります (軸測図法を参照)。正投影を得るには、軸の画像のみが自由で、短縮が決定されます (de:orthogonale Axonometrie を参照)。

シュワルツはより一般的な主張を定式化し、証明しました。

• 任意の四辺形の頂点は、与えられた四面体に相似な四面体の頂点の斜め平行投影として考えることができる。^[4]

そしてルイリエの定理を使用した。

• すべての三角形は、特定の形状の三角形の正投影として考えることができます。

• K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie。ゲルトナー・フェルラーク、ベルリン 1876 (Google Books)
• HA シュワルツ: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie、J. reine angew。数学。 63、309–314、1864年。
• アーノルド・エムチ：アフィニティによるポルケの定理とその一般化の証明、アメリカ数学ジャーナル、第40巻、第4号（1918年10月）、pp. 366-374

• F. クライン: ポルケの基本定理、高等な立場からの初等数学: 第 2 巻: 幾何学、p. 97、
• Christoph J. Scriba、Peter Schreiber: 5000年の幾何学: 歴史と文化における数学、398 ページ。
• ポルケ・シュワルツの定理、数学百科事典。