等時線

力学系の数学理論では、等時線とは、すべてが同じ長期的挙動につながるシステムの初期条件の集合である。^{[1] [2]}

時間の経過とともに変化する解の常微分方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}=1}$

この常微分方程式(ODE)には、たとえば時刻 における2 つの初期条件が必要です。初期条件をおよびで表します。 ここで、 および はパラメータです。次の議論は、このシステムの等時線がここでは直線 であることを示しています。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y(0)=y_{0}}$${\displaystyle dy/dt(0)=y'_{0}}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle y'_{0}}$${\displaystyle y_{0}+y'_{0}={\mbox{定数}}}$

上記の常微分方程式の一般解は

${\displaystyle y=t+A+B\exp(-t)}$

ここで、時間が増加するにつれて、指数項は急速にゼロに減少します (指数関数的減少)。したがって、 ODE のすべての解は急速に に近づきます。つまり、が同じすべての解は同じ長期的発展を示します。 項の指数関数的減少により、多数の解が同じ長期的発展を共有するようになります。どの初期条件が同じ を持つかを答えることで、等時線を見つけます。 ${\displaystyle t\to \infty }$${\displaystyle y\to t+A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\exp(-t)}$${\displaystyle A}$

初期時点では、およびとなります。これら 2 つの方程式から非物質的な定数を代数的に除去すると、すべての初期条件は同じであり、したがって同じ長期的発展を持ち、したがって等時線を形成することが推測されます。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle y_{0}=A+B}$${\displaystyle y'_{0}=1-B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle y_{0}+y'_{0}=1+A}$${\displaystyle A}$

等時線の概念のより興味深い応用例を見てみましょう。等時線は、動的システムのモデルから予測を予測しようとするときに発生します。2つの常微分方程式を結合したおもちゃのシステムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy{\text{ および }}{\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

素晴らしい数学的トリックは正規形（数学）変換である。^[3] ここで原点付近の座標変換は

${\displaystyle x=X+XY+\cdots {\text{ および }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+\cdots }$

新しい変数はダイナミクスを分離形式に変換する ${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=-X^{3}+\cdots {\text{ および }}{\frac {dY}{dt}}=(-1-2X^{2}+\cdots )Y}$

したがって、原点付近では、方程式が であるように、 は急速に指数関数的にゼロに減少します。したがって、長期的な発展は によってのみ決定されます。方程式はモデルです。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle dY/dt=({\text{負}})Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

この方程式を使って将来を予測してみましょう。元の変数の初期値が与えられているとします。 の初期値は何でしょうか? 答え:は同じ長期的発展をする です。上記の正規形では、 はとは独立に発展します。そのため、 は同じでが異なるすべての初期条件は、同じ長期的発展をします。 を固定して を変化させると、平面上の曲線状の等時線が得られます。たとえば、原点に非常に近いところでは、上記のシステムの等時線はほぼ線 です。初期値がどの等時線上にあるかを調べます。その等時線は によって特徴付けられます 。したがって、すべての時間に対してモデルから正しい予測を与える初期条件は です 。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle X(0)}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x-Xy=XX^{3}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X(0)=X_{0}}$

比較的単純な常微分方程式（決定論的および確率論的）のこのような正規形変換は、インタラクティブなWebサイトを通じて見つけることができます。[1]