ペロンの還元不可能性基準

ペロンの既約性判定条件は、多項式が既約であるための十分条件である。${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$つまり、整数係数を持つ低次の多項式の積に因数分解できないということです。

この基準は単項式多項式にのみ適用可能です。ただし、他の一般的に用いられる基準とは異なり、ペロンの基準では多項式の係数の素因数分解に関する知識は必要ありません。

整数係数を持つ以下の多項式があると仮定します。

${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

どこ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$以下の2つの条件のいずれかに該当する場合：

• ${\displaystyle |a_{n-1}|>1+|a_{n-2}|+\cdots +|a_{0}|}$
• ${\displaystyle |a_{n-1}|=1+|a_{n-2}|+\cdots +|a_{0}|,\quad f(\pm 1)\neq 0}$

それから${\displaystyle f}$は整数上で既約であり（ガウスの補題により有理数上でも既約である）。

この基準は、 1907 年にOskar PerronによってJournal für die reine und angewandte Mathematikに初めて発表されました。^{[ 1 ]}

パナイトポルによる以下の補題に基づいて、簡単な証明を与えることができます。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

補題。${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$多項式で${\displaystyle |a_{n-1}|>1+|a_{n-2}|+\cdots +|a_{1}|+|a_{0}|}$するとちょうどゼロが1つになる${\displaystyle z}$の${\displaystyle f}$満たす${\displaystyle |z|>1}$、そしてもう一方${\displaystyle n-1}$ゼロ${\displaystyle f}$満足する${\displaystyle |z|<1}$。

仮に${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$どこ${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$は整数多項式である。上記の補題により、${\displaystyle f}$絶対値が 1 つ以上であるゼロは 1 つだけである${\displaystyle 1}$多項式の1つ${\displaystyle g,h}$すべての零点が単位円の内側にあると仮定します。${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{k}}$のゼロは${\displaystyle g}$、 そして${\displaystyle |z_{1}|,\dots ,|z_{k}|<1}$。 ご了承ください${\displaystyle g(0)}$はゼロでない整数であり、${\displaystyle |g(0)|=|z_{1}\cdots z_{k}|<1}$矛盾。したがって、${\displaystyle f}$還元不可能である。

ペロンは自身の論文で、任意の体上の多変数多項式の判定基準の変形を示した。2010年、ボンシオカはこれらの判定基準の新しい証明を発表した。^{[ 4 ]}

• エイゼンシュテインの基準
• コーンの還元不可能性基準