ピアースの法則

論理学において、パースの法則は哲学者であり論理学者でもあるチャールズ・サンダース・パースにちなんで名付けられました。これは、彼が初めて命題論理を公理化した際に公理として採用されたものです。排中律を、含意という一種類の結合子のみを含む形で記述したものと考えることができます。

命題論理において、パースの法則は(( P → Q )→ P )→ Pである。これを書き出すと、 「 PならばQ 」の真偽からPの真偽が導かれるような命題Qが存在するならば、 Pは真でなければならないということになる。

パースの法則は直観主義論理や中間論理では成り立たず、演繹定理だけでは導き出すことはできない。

カリー・ハワード同型性の下では、パースの法則は継続演算子のタイプであり、例えばSchemeのcall/ccである。^{[ 1 ]}

以下は、ピアース自身による法解釈である。

排中律およびそれに関連するその他の命題には、 5つ目のアイコンが必要です。この種の最も単純な公式の1つは次のとおりです。

これは公理的とは言えない。これが真であることは、次のように明らかになる。これが偽となるのは、最後の帰結x が偽であり、その前件 ( x ⤙ y ) ⤙ xが真である場合のみである。これが真であれば、帰結xが真となり、式全体が真となるか、あるいは前件x ⤙ yが偽となる。しかし、後者の場合、 x ⤙ yの前件、すなわちxは真でなければならない。（パース、『論文集』 3.384）。

ピアースはさらに、この法律の即時適用例を指摘している。

先ほどの式から、すぐに次の式が得られます。

ここで、a は( x ⤙ y ) ⤙ aが ( x ⤙ y )からあらゆる命題が導かれることを意味するような意味で用いられている。この理解に基づけば、この式は排中律、すなわちxの否定の偽性からxの真性が導かれるという原理を表している。（パース、『論文集』 3.384）。

警告：本文で説明されているように、ここでの「a」は命題原子を表すのではなく、量化された命題論理式のようなものです。${\displaystyle \forall p\,p}$式 (( x → y ) → a ) → x は、 a を原子と解釈すれば同義反復ではない。

直観主義論理では、${\displaystyle P}$証明または拒否された場合、または${\displaystyle Q}$が妥当であることが証明されれば、2 つの命題に対するパースの法則が成り立つ。しかし、法則の特別なケースは、${\displaystyle Q}$否定される、いわゆる「驚異の帰結」は、最小論理においては既に排中律と同等である。これはまた、ピースの法則が直観主義論理よりも古典論理を包含することを意味する。これは以下に示すとおりである。

まず、${\displaystyle P\to Q}$等価性に従う${\displaystyle P\leftrightarrow (P\land Q)}$、 など${\displaystyle (P\to Q)\to P}$と同等${\displaystyle (P\to Q)\to (P\land Q)}$これにより、等価な形式を確立することによって、パースの法則を確立することもできます。${\displaystyle ((P\to Q)\to (P\land Q))\to P}$事例を考慮すると${\displaystyle Q=\bot }$同様に、二重否定の除去がどのように行われるかも示しています${\displaystyle \neg \neg P\to P}$これは驚異的な帰結を意味し、この方向では最小限の論理しか使用しません。直観主義論理では、爆発は次のように使用できます。${\displaystyle \bot \to (P\land \bot )}$したがって、ここでは、驚異的な帰結は二重否定の排除も意味する。

二重否定された排中律は最小論理においても常に有効であるため、直観主義論理においても排中律を含意する。反対に、排中律が完全なパースの法則を直接含意することも直観主義的に示すことができる。この目的のために、爆発原理を用いると、排中律は次のように表現できることに注意する。${\displaystyle P\lor (P\to Q)}$言葉で表現すると、これは「すべての命題${\displaystyle P}$いずれかが他の命題を包含するか、またはそれを暗示する。」さて、この法則を証明するために、次の点に注目してください。${\displaystyle (P\lor R)\to ((R\to P)\to P)}$は、一方では含意導入から、他方ではモーダス・ポネンスから導出できる。最後に、${\displaystyle R}$考慮する${\displaystyle P\to Q}$。

古典論理におけるこの法則の別の証明は、古典的に有効な逆選言三段論法を2回通過することによって行われる。まず、${\displaystyle \neg \neg P}$は、${\displaystyle (\neg \neg P\land \neg Q)\lor P}$これは直観的に同等である${\displaystyle \neg (\neg P\lor Q)\lor P}$爆発は、${\displaystyle \neg A\lor B}$暗示する${\displaystyle A\to B}$除外中間子を使用して${\displaystyle A}$ここで、このことは、これら2つが実際には同等であることを意味する。まとめると、古典論理では、${\displaystyle P}$と同等${\displaystyle (P\to Q)\to P}$。

直観的に言えば、制約さえも${\displaystyle \neg Q\to P}$常に2つの命題に対するピアースの法則が成り立つ。後者が命題形式で妥当であると仮定すると、スメタニッチの中間論理が得られる。

パースの法則は、演繹定理を用いて定理を証明する手法を強化することを可能にする。前提の集合Γが与えられ、そこから命題Zを演繹したいとしよう。パースの法則を用いると、 Z → Pの形式の追加の前提をΓに（コストなしで）追加することができる。例えば、P → Zと( P → Q )→ Zが与えられ、演繹定理を用いて( P → Z )→((( P → Q )→ Z ) → Z )が定理であると結論づけることができるようにZを演繹したいとしよう。すると、別の前提Z → Qを追加することができる。それとP → ZからP → Qが得られる。次に、( P → Q )→ Zを主要前提としてモーダス・ポネンスを適用してZを得る。演繹定理を適用すると、( Z → Q )→ Zが元の前提から導かれることがわかる。次に、パースの法則を (( Z → Q )→ Z )→ Zの形で用い、モーダス・ポネンスを用いて、元の前提からZ を導出します。そうすれば、当初の意図どおりに定理の証明を完了できます。

パースの法則が重要な理由の一つは、含意のみを用いる論理体系において、排中律の代わりとなることができる点にある。公理図式から推論できる文は以下の通りである。

• P →( Q → P )
• ( P →( Q → R ))→(( P → Q )→( P → R ))
• (( P → Q )→ P )→ P
• PとP → QからQを推論する

（P、Q、R が接続詞として「→」のみを含む場合）は、接続詞として「→」のみを使用するすべての同義反復です。

パースの法則は排中律を含意するため、非古典的直観主義論理では常に破綻する。その単純な反例として、ゲーデルの多値論理が挙げられる。これは、真理値が0から1までの実数であるファジー論理であり、実質含意は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

そして、ピアースの法則は、式として以下のように簡略化できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}((u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u)\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\u,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

常に真であるということは、u > v ならば u = 1 という命題と同等であり、これは 0 と 1 だけが許容される値の場合にのみ真となる。しかし同時に、この式は論理の最低真理値と等しくなることは決してなく、その二重否定は常に真となる。

• チャールズ・サンダース・パースの著作目録

• Peirce, CS、「論理の代数について：記号の哲学への貢献」、American Journal of Mathematics 7、180–202 (1885)。再録、Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 および The Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5、162–190。
• Peirce, CS、『Collected Papers of Charles Sanders Peirce』、第1～6巻、Charles HartshorneおよびPaul Weiss編、第7～8巻、Arthur W. Burks編、ハーバード大学出版局、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1931～1935年、1958年。