ポーセリエ-リプキン連鎖

1864 年に発明されたPeaucellier – Lipkin リンク機構(またはPeaucellier – Lipkin セル、またはPeaucellier – Lipkin インバータ) は、最初の真の平面直線機構であり、回転運動を完全な直線運動に変換し、またその逆も可能な最初の平面リンク機構でした。これは、フランス軍将校の Charles-Nicolas Peaucellier (1832 – 1913) と、リトアニア系ユダヤ人で有名なラビIsrael Salanterの息子である Yom Tov Lipman Lipkin (1846 – 1876)にちなんで名付けられました。^[¹^]^[²^]

この発明以前は、基準ガイドウェイを用いずに、正確な直線運動を円運動に変換する平面的な方法は存在しなかった。1864年当時、動力はすべて蒸気機関から供給されており、蒸気機関ではピストンがシリンダー内を直線的に上下に動いていた。このピストンは、駆動媒体を保持し、漏れによるエネルギー効率の低下を防ぐために、シリンダーとの良好な密閉性を維持する必要があった。ピストンは、シリンダーの軸に対して垂直な状態を保ち、直線運動を維持することでこれを実現していた。ピストンの直線運動を円運動に変換することは極めて重要であった。これらの蒸気機関の用途のほとんどすべては回転運動であった。

ポーセリエ＝リプキン連関の数学は、円の反転と直接的に関連している。

以前のSarrusの関連性

歴史があまり知られていない、それ以前の直線機構として、サラス・リンク機構と呼ばれるものがある。このリンク機構は、ポーセリエ＝リプキン・リンク機構より11年早く登場したもので、蝶番で繋がれた長方形の板が複数枚からなり、そのうち2枚は平行を保ちながら互いに通常方向に動かすことができる。サラス・リンク機構は、平面機構であるポーセリエ＝リプキン・リンク機構とは異なり、空間クランクとも呼ばれる三次元機構である。

幾何学

装置の幾何学的図には、長さが固定された 6 本の棒 $OA$ 、 $OC$ 、 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ が示されています。OA の長さは $OC$ の長さと等しく、 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ の長さはすべて等しく、ひし形を形成しています $。$ また、点 $O$ は固定されています。点 $Bが、$ $O$ を通る円に沿って移動するように拘束されている場合 (例えば、 $O$ と $B$ の中間の長さの棒に B を取り付けることによって、経路を赤色で示す) 、点 $D は$ 必然的に直線 (青色で示す) に沿って移動する必要があります。一方、点 $B が$ 直線 ( $O$ を通らない) に沿って移動するように拘束されている場合、点 $D は$ 必然的に円 ( $O$ を通る) に沿って移動する必要があります。

このリンク機構の全体的な比率は、さまざまなものが可能です。リンク機構の動きのすべての点で点 $O$ 、 $B$ 、 $Dが一直線上になければならず、無数のアームの長さの組み合わせが可能であるため、$ $OBD$ を挟んで鏡面対称である必要はありません。OBD が一直線上に保たれている場合 $、$ $D$ の意図した直線運動を実現するための唯一の要件は、 $AB = AD$ 、 $BC = DC$ 、および $Bが$ $O$ と交差する円形経路に拘束されることです。それ以外の場合、 $ABCD$ 図形の辺の長さ、 $B$ を拘束する円形経路の半径、および $OA$ または $OC$ の長さの間には固定された関係はありません。

数学的な概念実証

共線性

$まず、点O$ 、 $B$ 、 $D$ が同一直線上にあることを証明する必要があります。これは、連結部が直線 $OD$ に関して鏡面対称であることから容易にわかります。つまり、点 $B$ はその直線上にあるはずです。

より厳密に言うと、三角形 $△ BAD$ と $△ BCDは$ 、辺 $BD$ がそれ自身と合同であり、辺 $BAが辺$ $BC$ と合同であり、辺 $ADが辺$ $CD$ と合同であるため $、$ 合同です。したがって、角 $∠ABD$ と $角 ∠CBD$ は等しくなります。

次に、三角形 $△ OBA$ と $△ OBC$ は合同です。なぜなら、辺 $OA$ と $OC$ は合同であり、辺 $OB$ はそれ自身と合同であり、辺 $BA$ と $BCは$ 合同だからです。したがって、角 $∠OBA$ と $角 ∠OBC$ $は$ 等しくなります。

最後に、それらは完全な円を形成するので、

\angle OBA+\angle ABD+\angle DBC+\angle CBO=360^{\circ }

しかし、合同条件により、 $∠ OBA = ∠ OBC$ および $∠ DBA = ∠ DBC$ となり、

{\begin{aligned}&2\times \angle OBA+2\times \angle DBA=360^{\circ }\\&\angle OBA+\angle DBA=180^{\circ }\end{aligned}}

したがって、点 $O$ 、 $点B$ 、点 $D$ は同一直線上にある。

逆点

点 $P を直線$ $AC$ と $直線 BD$ の交点とする。ABCD はひし形なので $、$ Pは直線 $BD$ と直線 AC の $中点$ で $ある$ 。したがって、 $BP の長さは$ $PD の$ 長さと等しい。

三角形 $△ BPA$ $は三角形△ DPA$ と合同です。なぜなら、辺 $BPは辺$ $DP$ と合同で、辺 $AP$ $は$ それ自身と合同で、辺 $AB$ は辺 $AD$ と合同だからです。したがって、角 $∠BPA$ = 角 $∠DPA です$ 。しかし、 $∠BPA + ∠DPA = 180°$ なので、 $2 \times ∠BPA = 180°$ 、 $∠BPA = 90°$ 、 $∠DPA =$ $90$ $°と$ $なり$ $ます$ 。

させて：

{\begin{aligned}&x=\ell _{BP}=\ell _{PD}\\&y=\ell _{OB}\\&h=\ell _{AP}\end{aligned}}

それから：

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy

{\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}

（ピタゴラスの定理による）

{\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}

（同じ表現を拡大したもの）

{\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}

（ピタゴラスの定理）

{\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}

$OA$ と $ADは$ どちらも固定長なので、 $OB$ と $OD$ の積は定数となる。

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}

また、点 $O$ 、 $B$ 、 $D$ は同一直線上にあるため、 $D は$ 中心 $O$ で半径 $kの円$ $(O,$ $k$ $)$ に関する $B$ の逆点である。

反転幾何学

したがって、反転幾何学の性質により、点 $D$ が描く図形は点 $B$ が描く図形の反転であるため、 $Bが$ 反転中心 $O$ を通る円を描く場合、 $Dは$ 直線を描くように制約される。しかし、 $Bが$ $O$ を通らない直線を描く場合、 $Dは$ $O$ を通る円弧を描かなければならない。証明終了

典型的なドライバー

ポーセリエ・リプキンリンク機構（PLL）には、複数の反転機構が存在する可能性があります。典型的な例を反対側の図に示します。この図では、ロッカー・スライダ式4節リンク機構が入力ドライバとして機能します。正確には、スライダが入力として働き、それがPLLの右側の接地リンクを駆動し、結果としてPLL全体を駆動します。

歴史的注釈

シルベスター（『作品集』第3巻、論文2）は、ケルビンに模型を見せた時のことをこう記している。「ケルビンはそれをまるで自分の子供のように大切に育て、手放そうという提案があった時、『いや！まだまだだ。これは私が人生で見た中で最も美しいものだ』と答えた。」

文化的参照

照明付きの支柱で連結機構を実装した記念碑的な彫刻が、オランダのアイントホーフェンに常設展示されている。この作品は、 22メートル×15メートル×16メートル（72フィート× 49フィート× 52フィート）の大きさで、重さは6,600キログラム（14,600ポンド）あり、一般の人々がアクセスできるコントロールパネルから操作することができる。 ^[³^]

参考文献

↑ 「Peaucellier–Lipkinリンクの数学チュートリアル」 . Kmoddl.library.cornell.edu . 2011年12月6日取得。
↑ Taimina, Daina. "Daina Taiminaによる直線の描き方" . Kmoddl.library.cornell.edu . 2011年12月6日取得.
↑ 「個性的な人物だからといって、人格があるとは限らない」。イヴォ・シューフス。2020年12月2日にオリジナルからアーカイブ済み。2017年8月14日に取得。

参考文献

オグルヴィ、CS（1990）、『幾何学への旅』 、ドーバー出版、 46-48ページ、ISBN 0-486-26530-7
ブライアント、ジョン；サングウィン、クリス（2008）。あなたの円はどれくらい丸いですか？：工学と数学の出会い。プリンストン：プリンストン大学出版局。33 ～ 38、60 ～ 63ページ。ISBN 978-0-691-13118-4。— ペウセリエ・リプキン連鎖の証明と考察、数学的および現実世界の力学モデル
Coxeter HSM、Greitzer SL (1967)。『幾何学再考』ワシントン：MAA。108-111頁。ISBN 978-0-88385-619-2。（およびそこに引用されている参考文献）
Hartenberg, RS & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages , pp 181 – 5, New York: McGraw–Hill,コーネル大学からのウェブリンク。
Johnson RA ( 1960).高度なユークリッド幾何学：三角形と円の幾何学に関する初等的論文（ 1929年版のHoughton Mifflin版の復刻版）。ニューヨーク：Dover Publications。pp. 46–51。ISBN 978-0-486-46237-0。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
ウェルズ D (1991). 『ペンギン版奇妙で興味深い幾何学辞典』ニューヨーク：ペンギンブックス。120ページ。ISBN 0-14-011813-6。

外部リンク

直線の描き方、インタラクティブなアプレットとリンクしたオンラインビデオクリップ。
直線の描き方、リンク機構設計の歴史的考察
検証済みのインタラクティブなJavaアプレット。
JavaアニメーションによるPeaucellier – Lipkinリンク
ユダヤ百科事典のリップマン・リプキンに関する記事（ 2007年3月5日にウェイバックマシンにアーカイブ済み）と、彼の父イスラエル・サランター
Peaucellier Apparatusにはインタラクティブなアプレットが搭載されています。
Molecular Workbenchソフトウェアを使用したシミュレーション（2011年7月25日にWayback Machineにアーカイブ済み）
関連するリンク機構として、ハートの逆機構と呼ばれるものがある。
改良型Peaucellierロボットアームリンケージ（Vex Team 1508の動画より）

[1] 「Peaucellier–Lipkinリンクの数学チュートリアル」 . Kmoddl.library.cornell.edu . 2011年12月6日取得。

[2] Taimina, Daina. "Daina Taiminaによる直線の描き方" . Kmoddl.library.cornell.edu . 2011年12月6日取得.

[Schoofs-3] 「個性的な人物だからといって、人格があるとは限らない」。イヴォ・シューフス。2020年12月2日にオリジナルからアーカイブ済み。2017年8月14日に取得。

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ポーセリエ-リプキン連鎖

以前のSarrusの関連性

幾何学

数学的な概念実証

共線性

逆点

反転幾何学

典型的なドライバー

歴史的注釈

文化的参照

関連項目

参考文献

参考文献

外部リンク

関連するトピック

直線機構であり、

回転運動を

直線運動

リンク機構でした。これは、フランス軍将校の