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論理学において、定言命題、または定言文とは、あるカテゴリー（主語）の全部または一部が別のカテゴリー（述語）に含まれることを主張または否定する命題である。[ 1 ]定言文（すなわち三段論法）を用いた議論の研究は、古代ギリシャ人から始まった演繹的推論の重要な分野を形成している。
アリストテレスなどの古代ギリシャ人は、4つの主要な異なるカテゴリー命題を特定し、それらに標準形式（現在ではA、E、I、Oと呼ばれることが多い）を与えた。抽象的に、主語カテゴリーをS、述語カテゴリーをPとすると、4つの標準形式は次のようになる。
多数の文は、元の文の意味のすべてまたは大部分を保持したまま、これらの標準形式のいずれかに翻訳することができます。ギリシャの研究は、異なる形式間の論理的関係を体系化した、いわゆる対立の四角形を生み出しました。例えば、 A命題はO命題と矛盾します。つまり、例えば「すべてのリンゴは赤い果実である」と信じる人は、「リンゴの中には赤い果実ではないものもある」と同時に信じることはできません。このように、対立の四角形の関係によって、ある形式の命題の真偽が別の形式の命題の真偽から直接導き出されるような、即時推論が可能になります。
カテゴリー命題に関する現代的な理解（19世紀半ばのジョージ・ブールの研究に端を発する）では、主題カテゴリーが空である可能性を考慮する必要がある。もし空であれば、これは仮説的観点と呼ばれ、主題カテゴリーが少なくとも1つの要素を持つことを要求する存在的観点とは対照的である。存在的観点は仮説的観点よりも強い立場であり、適切な場合には、そうでなければ導き出せないような多くの結果を導き出すことができる。仮説的観点は弱い立場であるため、伝統的な対立の四角形に存在する関係の一部を取り除く効果がある。
3つの定言命題（2つを前提、1つを結論とする）からなる議論は、定言三段論法として知られ、古代ギリシャの論理学者の時代から中世にかけて極めて重要なものでした。定言三段論法を用いた形式的な議論は、一階述語論理のような現代の論理体系の表現力の向上によって大部分が取って代わられましたが、歴史的、教育的な意義に加えて、依然として実用的な価値を保持しています。
自然言語の文は標準形式に翻訳できます。次の表の各行では、S は例文の主語に対応し、 P は述語に対応します。
「すべてのSがPではない」（例：「すべての猫が8本の足を持っているわけではない」）は、標準形式の例としては分類されないことに注意してください。これは、自然言語への翻訳が曖昧であるためです。日常会話では、「すべての猫が8本の足を持っているわけではない」という文は、（1）「少なくとも一部の猫、あるいはすべての猫が8本の足を持っているわけではない」または（2）「8本の足を持つ猫はいない」のどちらかを示すために非公式に使用される可能性があります。
カテゴリー命題は、「質」と「量」、つまり「項の分布」に基づいて4つのタイプに分類できます。これらの4つのタイプは、長い間A、E、I、Oと呼ばれてきました。これは、肯定命題AとIを指すラテン語のaffirmo （私は肯定する）と、否定命題EとOを指すnego （私は否定する）に基づいています。[ 2 ]
数量とは、命題で使用される主語クラス（クラスとは、範疇命題において主語または述語となる用語によって指定されるものの集合またはグループのことである。[ 3 ]）のメンバーの数を指します。命題が主語クラスのすべてのメンバーを参照する場合、それは普遍命題です。命題が主語クラスのすべてのメンバーを使用しない場合、それは特殊命題です。たとえば、I命題（「いくつかのSはPである」）は、主語クラスの一部のメンバーのみを参照するため、特殊命題です。
性質とは、命題が述語のクラス内に主語が含まれることを肯定するか否定するかによって説明されます。可能な 2 つの性質は、肯定と否定と呼ばれます。[ 4 ]例えば、A命題 (「すべてのSはPである」) は、主語が述語内に含まれることを述べているため、肯定です。一方、O命題 (「いくつかのSはPではない」) は、主語を述語から除外しているため、否定です。
重要な考慮事項は、 「いくつか」という言葉の定義です。論理学において、 「いくつか」は「1つ以上」を意味し、「すべて」と矛盾しません。したがって、「いくつかのSはPである」という命題は、 「いくつかのSはPではない」という命題が真であることを保証するものではありません。
範疇命題における2つの項（主語と述語）は、それぞれ分配されているか、分配されていないかに分類される。項のクラスのすべての要素が命題の影響を受ける場合、そのクラスは分配されている。そうでない場合は、分配されていない。したがって、すべての命題は、4つの可能な項の分配のいずれかを持つ。
4つの標準形式それぞれについて、用語の分布を順に検討する。ここでは詳しく説明しないが、4つの形式における用語の分布を理解する際には、ベン図が役立つ場合がある。
A命題は主語を述語に分配しますが、その逆は行いません。次のカテゴリー命題を考えてみましょう。「すべての犬は哺乳類である」。確かにすべての犬は哺乳類ですが、すべての哺乳類が犬であると言うのは誤りです。すべての犬は哺乳類のクラスに含まれるため、「犬」は「哺乳類」に分配されていると言えます。すべての哺乳類が必ずしも犬であるとは限らないため、「哺乳類」は「犬」に分配されていません。
E命題は、主語と述語の間で双方向に分布します。「甲虫は哺乳類ではない」という範疇命題から、哺乳類は甲虫ではないと推論できます。すべての甲虫は哺乳類ではないと定義され、すべての哺乳類は甲虫ではないと定義されているため、両方のクラスが分布します。
空集合は、主語と述語のクラス分布の特殊なケースである。
I命題では、どちらの項も分配されません。例えば、「アメリカ人の中には保守的な人がいる」という命題があります。どちらの項も、もう一方の項に完全に分配することはできません。この命題からは、すべてのアメリカ人が保守的であるとか、すべての保守的な人がアメリカ人であると言うことはできません。この命題の曖昧さに注意してください。「アメリカ人の中には（あるいは他の）保守的な人がいる」（de dicto ）という意味にも、「アメリカ人の中には（特にアルバートとボブが）保守的な人がいる」（ de re ）という意味にも解釈できます。
O命題では、述語のみが分散されます。次の命題を考えてみましょう。「一部の政治家は腐敗していない」。すべての政治家がこの規則で定義されるわけではないので、主語は非分散です。しかし、述語は分散されます。「腐敗した人々」のすべてのメンバーが、「一部の政治家」として定義される人々のグループに一致するわけではないからです。規則は腐敗した人々のグループのすべてのメンバーに適用されるため、つまり「すべての腐敗した人々は一部の政治家ではない」ため、述語は分散されます。
O命題における述語の分布は、その曖昧さゆえにしばしば混乱を招く。例えば、「一部の政治家は腐敗していない」という文が「腐敗した人々」というグループを「一部の政治家」に分布させると言われても、「一部の政治家」というグループが定義されていないため、その情報はほとんど価値がないように見える。これが内包的命題のde dicto解釈である（)、または「一部の政治家（またはその他）は腐敗していない」。しかし、例えば、この「一部の政治家」のグループがアルバートという一人の人物を含むと定義された場合、関係はより明確になります。これは、内包的命題のde re解釈です（）または「一部の政治家（特に）は腐敗していない」。この文は、腐敗した人々のグループにリストされているすべての項目の中で、アルバートは一人もいないことを意味する。「すべての腐敗した人がアルバートではない」。これは「腐敗した人々」グループのすべてのメンバーに適用される定義であり、したがって分散している。
要するに、主語が分配されるためには、文は普遍的（例：「すべて」、「いいえ」）でなければならない。述語が分配されるためには、文は否定的（例：「いいえ」、「～ではない」）でなければならない。[ 5 ]
ピーター・ギーチらは、議論の妥当性を判断するために分布を用いることを批判している。[ 6 ] [ 7 ]
「いくつかのSはPではない」という形式の文は、 「すべてのSがPであるとは限らない」と表現すれば問題が少なくなるだろうと示唆されている[ 8 ]。これはおそらく、この種の文に対するアリストテレスの元の形式により近い翻訳であろう[ 9 ] 。
もう一つの批判は、「すべての腐敗した人が政治家ではない」から「すべての腐敗した人が政治家ではない」（「腐敗した人は誰も政治家ではない」という意味か「すべての腐敗した人が政治家ではない」という意味かは、元の「一部の政治家は腐敗していない」とは異なる）へ、あるいは「すべての腐敗した人が政治家ではない」（これも異なる）へと、わずかなステップを踏んでいるという点である。
範疇命題を別の命題に変換するために、いくつかの操作（例えば、変換、反転、対偶）を行うことができます。新しい命題は、元の命題と等価である場合もあれば、等価でない場合もあります。[以下の表は、そのような操作を示しています。各行において、緑色の枠内の命題が別の緑色の枠内の命題と等価である場合は、枠は緑色になります。赤色の枠内の命題は、同じ黄色の枠内に示された条件が満たされた場合に、左端の枠内の命題によって暗示されるか、または妥当であることを意味します。]
一部の演算では、クラス補集合の概念が必要となります。これは、対象となる要素のうち、クラスの要素ではないすべての要素を指します。クラス補集合は、集合の補集合と非常によく似ています。集合 P のクラス補集合は、「非 P」と呼ばれます。
最も単純な操作は変換であり、主語と述語の項が入れ替わります。これは、現代論理における含意の逆とは異なり、実質含意の命題とは異なります。別の重要な意味合いの記述に変換される（変換）両方の変換は、A型のカテゴリカルステートメントの場合にのみ同等です。
E形式またはI形式の命題からは、その逆を導き出すことは妥当である（両者は同値であるため）。A形式およびO形式の命題については、この限りではない。
オブバージョンは、命題と述語項の性質（つまり肯定性または否定性）を変化させます。 [ 10 ]例えば、オブバージョンによって、全称肯定命題は、元の全称肯定命題の述語項のクラス補語である述語項を持つ全称否定命題になります。4つのカテゴリー命題の現代形式では、述語項 P に対応する命題の否定は、は、反転の各カテゴリー命題において述語項「非P」として解釈される。肯定的な断定的記述を覆すために使用できる。
カテゴリー命題は、論理的にその裏表と等価である。したがって、いずれかの形式を表すベン図は、その裏表を表すベン図と同一になる。
対位法とは、定言命題の主語と述語を同時に交換し、否定する過程である。また、定言命題の反転（反転の結果）を変換（変換を適用する）することにも等しい。なお、この伝統的な論理における対位法は、現代論理における対位法（転置とも呼ばれる）とは異なる。現代論理では、実質含意命題が対位法（転置とも呼ばれる）の対象となる。そしてこれらは論理的に同値である。両方の対偶が同値となるのは、A型の定言命題の場合に限られる。
一階述語論理は、範疇命題によって与えられる論理よりもはるかに表現力豊かな論理である。一階述語論理では、4つの形式は次のように表現できる。
カテゴリー的記述とは、主語クラスのすべてまたは一部が述語クラスに含まれることを主張または否定するものです。
中世の論理学者は、4 つのカテゴリー形式に
A
、
E
、
I
、
Oという特別な名前を付けました。これらの 4 つの文字は、ラテン語の単語
'a
ff
i
rmo' (「私は肯定する」)の最初の 2 つの母音と、ラテン語の 'n
e
g
o'
(「私は否定する」)の母音から来ています
。
すべての標準形式の定言命題は
、肯定または否定のいずれかの
性質を持つと言われている。
オブバージョン
とは、命題の性質（肯定から否定、または否定から肯定）を変更し、その述語を否定または補語に置き換えるプロセスです。
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