パラティーニのアイデンティティ

一般相対論とテンソル計算では、パラティーニの恒等式は

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho },}$

ここで はクリストッフェル記号の変化を表し、共変微分を表す。^[1]${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$${\displaystyle \nabla _{\rho }}$

リー微分 についても「同じ」恒等式が成り立つ。実際、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \シグマ }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

ここで、 は時空多様体上の任意のベクトル場を表します。 ${\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle M}$

リーマン曲率テンソルはレヴィ・チヴィタ接続 によって次のよう に定義される。${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$。

そのバリエーションは

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _ {\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{ \lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$。

接続はテンソルではないが、2つの接続の差は なので、その共変微分を取ることができる。${\displaystyle \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$ ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho } +\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\ラムダ }\デルタ \ガンマ _{\nu \ラムダ }^{\rho }}$。

この方程式を について解き、その結果を に代入すると、 のような項はすべて打ち消され、 のみが残ります。 ${\displaystyle \partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }}$${\displaystyle \Gamma \delta \Gamma }$

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }}$。

最後に、リッチ曲率テンソルの変化は、2つの指数を縮約することによって得られ、恒等式が証明される。

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }}$。

• アインシュタイン・ヒルベルト作用
• パラティーニ変奏曲
• リッチ計算
• テンソル計算
• クリストッフェルのシンボル
• リーマン曲率テンソル

• Palatini、Attilio (1919)、「Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton」[ハミルトンの原理からの重力方程式の不変演繹]、Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo、1 (イタリア語)、43 : 203–212 、土肥:10.1007/BF03014670、S2CID  121043319[ PG Bergmannおよび V. De Sabbashi (編) Cosmology and Gravitationの R. Hojman および C. Mukku による英語翻訳、Plenum Press、ニューヨーク (1980)]
• ツァンパリス、マイケル (1978)、「パラティーニ変分法について」、Journal of Mathematical Physics、19 (3​​): 555–557、Bibcode :1978JMP....19..555T、doi :10.1063/1.523699