p安定グループ

有限群論において、奇数素数pに対するp安定群は、奇数位数定理におけるトンプソンの一意性の結果を二面体シロー 2 部分群を持つ群に拡張するためにゴレンスタインおよびウォルター (1964、p.169、1965) によって導入された技術的条件を満たす有限群です。

p安定グループには同等の定義がいくつかあります。

最初の定義。

p安定群の定義は 2 つの部分に分けて示します。ここで使用する定義は (Glauberman 1968、p. 1104) から引用したものです。

1 . p を奇素数とし、G を非自明なp核を持つ有限群とします。このとき、G がp安定であるとは、次の条件を満たす場合です。PをGの任意のp部分群とし、 はGの正規部分群であるとします。 および はx を含むの剰余類であると仮定します。 の場合、 となります。 ${\displaystyle O_{p}(G)}$${\displaystyle O_{p'\!}(G)}$${\displaystyle x\in N_{G}(P)}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle C_{G}(P)}$${\displaystyle [P,x,x]=1}$${\displaystyle {\overline {x}}\in O_{n}(N_{G}(P)/C_{G}(P))}$

ここで、という性質に関して最大​​のGのすべてのp部分群の集合を として定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}(G)}$${\displaystyle O_{p}(M)\not =1}$

2 . G を有限群、p を奇数素数とする。 Gのすべての元が定義1によりp安定であるとき、 Gはp安定であると呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{p}(G)}$

2番目の定義。

p を奇素数、H を有限群とします。このとき、 Hが p 安定であるためにはが成り立ち、P がHの正規p部分群であり、を満たすときは が成り立ちます。 ${\displaystyle F^{*}(H)=O_{p}(H)}$${\displaystyle g\in H}$${\displaystyle [P,g,g]=1}$${\displaystyle gC_{H}(P)\in O_{p}(H/C_{H}(P))}$

p が奇数の素数であり、Gが SL ₂ ( p ) がGに含まれないような有限群である場合、Gはp安定です。さらに、G がとなるような正規p部分群P を含む場合、はGの特性部分群です。ここでは、(Thompson 1969、pp. 149–151) でジョン・トンプソンによって導入された部分群です。 ${\displaystyle C_{G}(P)\leqslant P}$${\displaystyle Z(J_{0}(S))}$${\displaystyle J_{0}(S)}$

• p安定性は、Glauberman のZJ 定理の条件の 1 つとして使用されます。
• 二次対
• p制約群
• p可解群

• グラウバーマン、ジョージ(1968)、「p 安定群の特性部分群」、Canadian Journal of Mathematics、20 : 1101–1135、doi : 10.4153/cjm-1968-107-2、ISSN  0008-414X、MR  0230807
• トンプソン、ジョン G. (1969)、「p 群の置換定理と予想」、代数ジャーナル、13 (2): 149– 151、doi : 10.1016/0021-8693(69)90068-4、ISSN  0021-8693、MR  0245683
• ゴレンスタイン、D. ; ウォルター、ジョン H. (1964)、「有限単純群の最大部分群について」、代数ジャーナル、1 (2): 168– 213、doi : 10.1016/0021-8693(64)90032-8、ISSN  0021-8693、MR  0172917
• ゴレンスタイン、D. ; ウォルター、ジョン H. (1965)、「二面体シロー 2 部分群を持つ有限群の特徴付け。I」、代数ジャーナル、2 : 85– 151、doi : 10.1016/0021-8693(65)90027-X、ISSN  0021-8693、MR  0177032
• ゴレンスタイン、D. ; ウォルター、ジョン H. (1965)、「二面体シロー 2 部分群を持つ有限群の特徴付け II」、代数ジャーナル、2 (2): 218– 270、doi : 10.1016/0021-8693(65)90019-0、ISSN  0021-8693、MR  0177032
• ゴレンスタイン、D. ; ウォルター、ジョン H. (1965)、「二面体シロー 2 部分群を持つ有限群の特徴付け。III」、代数ジャーナル、2 (3): 354– 393、doi : 10.1016/0021-8693(65)90015-3、ISSN  0021-8693、MR  0190220
• ゴレンスタイン、D. (1979)、「有限単純群の分類。I.単純群と局所解析」、アメリカ数学会報、新シリーズ、1 (1): 43– 199、doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8、ISSN  0002-9904、MR  0513750
• ゴレンスタイン、D. (1980)、有限群（第2版）、ニューヨーク：チェルシー出版、ISBN 978-0-8284-0301-6、MR  0569209