オールト定数

オールト定数（ヤン・オールトによって発見された）${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これらは、我々の銀河である天の川の局所的な回転特性を以下のように特徴付ける、経験的に導出されたパラメータである。

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}-{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\&B=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle V_{0}}$そして${\displaystyle R_{0}}$はそれぞれ、太陽の位置で測定された回転速度と銀河中心までの距離であり、vとrは銀河系の我々の領域内の他の位置での速度と距離です。回転速度とは、円周方向における恒星の平均速度を意味し、特定の恒星や太陽の速度とは異なります。以下に示すように、AとBは太陽近傍の恒星の運動と位置のみに依存します。2018年現在、これらの定数の最も正確な値は次のとおりです。${\displaystyle A}$= 15.3 ± 0.4 km s ⁻¹ kpc ⁻¹、${\displaystyle B}$= −11.9 ± 0.4 km s ⁻¹ kpc ⁻¹。^{[ 1 ]}

1920年代までに、天文学界の多くの人々は、夜空に見られる拡散した雲状の天体、すなわち星雲の一部が、我々の銀河系内の星団のさらに外側に位置する星の集まりであることを認識していた。これらの銀河は、楕円体から円盤状まで、多様な形態を持っていた。天の川銀河の目に見える特徴である星の光の集中帯は、我々の銀河が円盤構造であることを示唆していたが、我々が銀河系内のどこにいるかによって、観測から構造を特定することは困難であった。

古典力学では、星の集まりは、星のランダムな速度または重心周りの回転のいずれかによって重力崩壊から支えられると予測されていました。^{[ 4 ]} 円盤状の集まりの場合、支えは主に回転によるものであるはずです。質量密度、つまり円盤内の質量の分布に応じて、回転速度は円盤の中心から外縁までの各半径で異なる可能性があります。これらの回転速度を、それらが測定された半径に対してプロットしたものを回転曲線と呼びます。天の川以外の円盤銀河の場合、銀河の一方の側が私たちの視線に向かって移動し、もう一方の側が遠ざかるため、異なる銀河半径に沿って測定されたスペクトル特徴のドップラーシフトを観測することによって回転曲線を測定できます。しかし、私たちが天の川の銀河面の中央に位置し、分子雲の塵が多くの方向でほとんどの可視光を遮っているため、1930年代に21cm水素線が発見されるまで、独自の回転曲線を取得することは技術的に困難でした。

これ以前に銀河の回転を確認するために、1927年にヤン・オールトは、近傍のごく一部の星から銀河の回転を確認する方法を考案した。^{[ 5 ]}以下に説明するように、彼が見つけた値は${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$銀河が回転しているだけでなく、固体ではなく流体のように、つまり差動回転していることも証明した。

銀河円盤の中央面にある銀河経度の星を考えてみましょう。${\displaystyle l}$遠くから${\displaystyle d}$太陽から。恒星と太陽の両方が銀河の中心の半径の円軌道を描いていると仮定します。${\displaystyle R}$そして${\displaystyle R_{0}}$銀河中心からの回転速度${\displaystyle V}$そして${\displaystyle V_{0}}$それぞれ、太陽の位置から観測される、視線方向の星の運動（視線速度）と、天球面を横切る星の運動（横方向速度）は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=V_{\text{star, r}}-V_{\text{sun, r}}=V\cos \left(\alpha \right)-V_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=V_{\text{star, t}}-V_{\text{sun, t}}=V\sin \left(\alpha \right)-V_{0}\cos \left(l\right)\\\end{aligned}}}$

円運動を仮定すると、回転速度は角速度と次の関係にある。${\displaystyle v=\Omega r}$そして、これを速度の式に代入することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=\Omega R\cos \left(\alpha \right)-\Omega _{0}R_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=\Omega R\sin \left(\alpha \right)-\Omega _{0}R_{0}\cos \left(l\right)\\\end{aligned}}}$

図1の幾何学的構造から、銀河中心、太陽、恒星によって形成される三角形は、辺の一部または全部を共有していることがわかる。したがって、以下の関係が成り立ち、置換を行うことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&R\cos \left(\alpha \right)=R_{0}\sin \left(l\right)\\&R\sin \left(\alpha \right)=R_{0}\cos \left(l\right)-d\\\end{aligned}}}$

そしてこれらによって

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=\left(\Omega -\Omega _{0}\right)R_{0}\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=\left(\Omega -\Omega _{0}\right)R_{0}\cos \left(l\right)-\Omega d\\\end{aligned}}}$

これらの式を既知の量のみで表すと${\displaystyle l}$そして${\displaystyle d}$テイラー展開をとる${\displaystyle \Omega -\Omega _{0}}$について${\displaystyle R_{0}}$。

${\displaystyle \left(\Omega -\Omega _{0}\right)=\left(R-R_{0}\right){\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}+...}$

さらに、この分析に使用した星はローカルである、つまり${\displaystyle R-R_{0}}$距離は小さく、${\displaystyle d}$星はより小さい${\displaystyle R}$または${\displaystyle R_{0}}$そして、我々は以下を採用する。

${\displaystyle R-R_{0}=-d\cdot \cos \left(l\right)}$[ ^{6 ]​}

それで：

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d\cdot \cos \left(l\right)\sin \left(l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d\cdot \cos ^{2}\left(l\right)-\Omega d\\\end{aligned}}}$

正弦と余弦の半角公式を用いると、これらの速度は次のように書き換えることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\sin \left(2l\right)}{2}}\\&V_{\text{obs, t}}=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\left(\cos \left(2l\right)+1\right)}{2}}-\Omega d=-R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}d{\frac {\cos \left(2l\right)}{2}}+\left(-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}-\Omega \right)d\\\end{aligned}}}$

既知の量と2つの係数を用いて速度を記述する${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$収量：

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=Ad\sin \left(2l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=Ad\cos \left(2l\right)+Bd\\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}&A=-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\\&B=-{\frac {1}{2}}R_{0}{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}-\Omega \\\end{aligned}}}$

この段階では、観測可能な速度はこれらの係数と星の位置に関係しています。これらの係数を銀河の回転特性に関連付けることが可能になりました。円軌道上の星の場合、角速度の半径に関する微分を回転速度と半径で表し、太陽の位置でこれを評価することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ={\frac {v}{r}}\\&{\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}={\frac {d(v/r)}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}=-{\frac {V_{0}}{R_{0}^{2}}}+{\frac {1}{R_{0}}}{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\\\end{aligned}}}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}-{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\&B=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}\right)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle A}$はせん断運動を表すオールト定数であり、${\displaystyle B}$は銀河の回転を表すオールト定数です。以下に説明するように、測定することができます。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$多くの恒星について測定されたこれらの速度を、それらの恒星の銀河経度に対してプロットすることによって得られる。

上記の導出過程の中間段階で述べたように：

${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{\text{obs, r}}=A\,d\,\sin \left(2l\right)\\&V_{\text{obs, t}}=A\,d\,\cos \left(2l\right)+B\,d\\\end{aligned}}}$

したがって、オルト定数は次のように書くことができます。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$として：

${\displaystyle {\begin{aligned}&A={\frac {V_{\text{obs, r}}}{d\,\sin \left(2l\right)}}\\&B={\frac {V_{\text{obs, t}}}{d}}-A\,\cos \left(2l\right)\\\end{aligned}}}$

したがって、オールト定数は、銀河系内の天体の視線速度、横速度、距離、銀河経度を用いて表すことができ、これらはすべて原理的には観測可能な量である。

しかし、いくつかの複雑な点があります。上記の単純な導出では、太陽と問題の天体の両方が銀河中心の周りを円軌道で移動していると仮定しています。これは太陽には当てはまりません（太陽の局所静止基準に対する速度は約 13.4  km/s です）^{[ 6 ]}。また、天の川銀河内の他の天体にも必ずしも当てはまるわけではありません。この導出では、天の川銀河の重力ポテンシャルが軸対称であり、常に中心に向かっていると暗黙のうちに仮定しています。これは、渦状腕と銀河の棒状構造の影響を無視しています。最後に、比較的近くにない天体の場合、横方向の速度と距離を測定することは非常に困難です。

太陽の速度の非円成分は既知であるため、それを観測値から差し引くことで補正できます。しかし、観測する個々の恒星の速度の非円成分は不明であるため、この方法で補正することはできません。ただし、多数の恒星について、横方向速度を距離で割った値を銀河経度に対してプロットすると、上記の式から、それらが正弦関数に従うことがわかります。非円速度はこの直線の周りにばらつきを生じさせますが、十分なサンプル数があれば、真の関数をフィッティングして、図2に示すようにオールト定数の値を測定することができます。${\displaystyle A}$は単に正弦波の振幅であり、${\displaystyle B}$はゼロからの垂直オフセットです。ただし、横方向の速度と距離を正確かつバイアスなく測定することは依然として困難であり、導出された値のセットは、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$意見が合わないことが多い。

ほとんどの測定方法${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それらは基本的に上記のパターンに従って類似している。主な違いは通常、どのような種類の物体が使用されるか、および距離または固有運動がどのように測定されるかの詳細にある。オルトは、定数を導出した1927年の原著論文で、${\displaystyle A}$= 31.0 ± 3.7 km s ⁻¹ kpc ⁻¹。彼は明示的に値を取得していません。${\displaystyle B}$しかし、銀河がほぼケプラー回転しているという彼の結論から（以下の例2のように）、彼は約-10 km s⁻¹ ^kpc⁻¹の値を得た^と推測できる。^{[ 5 ]}これらは現代の値とは大きく異なり、これらの定数を測定することの難しさを示している。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$それ以降、大きく変化してきた。1964年にIAUは${\displaystyle A}$= 15 km s ⁻¹ kpc ⁻¹および${\displaystyle B}$= −10 km s ⁻¹ kpc ⁻¹を標準値とする。^{[ 7 ]}最近の測定値は引き続き変動しているが、これらの値に近い傾向がある。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

1989年に打ち上げられたヒッパルコス衛星は、初の宇宙ベースの天体位置測定ミッションであり、その精密な視差と固有運動の測定により、オールト定数のより正確な測定が可能になった。1997年には、ヒッパルコスのデータを使用して、以下の値が導出された。${\displaystyle A}$= 14.82 ± 0.84 km s ⁻¹ kpc ⁻¹および${\displaystyle B}$= −12.37 ± 0.64 km s ⁻¹ kpc ⁻¹。^{[ 11 ]} 2013 年に打ち上げられたGaia宇宙船は、Hipparcos の後継機として改良されたもので、4 つの Oort 定数を測定する際の精度が向上した。${\displaystyle A}$= 15.3 ± 0.4 km s ⁻¹ kpc ⁻¹、${\displaystyle B}$= -11.9 ± 0.4 km s ⁻¹ kpc ⁻¹、${\displaystyle C}$= −3.2 ± 0.4 km s ⁻¹ kpc ⁻¹および${\displaystyle K}$= −3.3 ± 0.6 km s ⁻¹ kpc ⁻¹。^{[ 1 ]}

Gaiaの値を用いると、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dv}{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}=-A-B=-3.4{\text{ km/s/kpc}}\\&{\frac {V_{0}}{R_{0}}}=\Omega =A-B=27.2{\text{ km/s/kpc}}\\\end{aligned}}}$

このΩの値は、太陽の現在の近傍が天の川銀河を一周するのに2億2600万年かかることを示しています。しかし、太陽が天の川銀河を一周するのにかかる時間（銀河年）は、（単純なモデルでは）Ωが小さい銀河の中心からさらに離れた点の周りを太陽が周回しているため、これよりも長くなる可能性があります（太陽#運動を参照）。

^{km s⁻¹} kpc⁻¹の値は、^{4.740で割ることによって}ミリ秒角/年に換算できます。これにより、局所的な静止基準に対する太陽の速度による影響を補正した後、銀河経度の異なる近傍の恒星の平均固有運動について、次の値が得られます。

ヘルクレス座の太陽の頂点に向かう太陽の動きは、ベラ座やケンタウルス座周辺の星の観測された固有運動に概ね西向きの成分を加え、白鳥座やカシオペヤ座周辺の星の観測された固有運動には概ね東向きの成分を加えます。この効果は距離とともに減少するため、表の値はより遠くにある星をより代表しています。一方、より遠くにある星や天体は、私たちの近傍の天体に関するこの表には従いません。たとえば、銀河の中心にある電波源であるいて座A* は、いて座にあるにもかかわらず、南西方向に約Ωまたは5.7 mas/年（または約1.6°/百万年）の固有運動を持ちます（太陽の太陽の頂点への動きによるわずかな調整があります）。これらの固有運動は「背景の星」と比較して測定することはできません（背景の星は同様の固有運動を持つため）が、クエーサーなどのより静止した基準と比較して測定する必要があります。

オールトの定数は、銀河がどのように回転しているかを理解する上で非常に役立ちます。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これらは両方とも太陽の軌道速度と太陽速度の一次微分に依存する関数である。結果として、${\displaystyle A}$太陽を取り巻く円盤のせん断運動を記述する一方、${\displaystyle B}$太陽近傍の角運動量勾配を表し、渦度とも呼ばれる。

この点を明確にするために、銀河内で星やガスがどのように軌道を描いているかを説明する３つの例を見て、その意味を直感的に理解することができます。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これら３つの例は、剛体回転、ケプラー回転、および異なる環状領域における一定回転です。これら３種類の回転は、半径の関数としてプロットされます（${\displaystyle R}$）は、図3にそれぞれ緑、青、赤の曲線で示されています。灰色の曲線は、おおよそ天の川銀河の回転曲線です。

オールト定数の主な用途の1つは、銀河の回転曲線を較正することです。相対曲線は天の川銀河内のガス雲の運動を研究することによって導き出すことができますが、関係する実際の絶対速度を較正するには、V ₀の知識が必要です。^{[ 6 ]}次のことがわかっています。

${\displaystyle V_{0}=R_{0}(A-B)\,\!}$

R _{0 は他の手段 (例えば、天の川銀河の}中心にある超大質量ブラックホールの近くの星の動きを注意深く追跡するなど)によって決定できるため、 ^{[ 22 ]}を知っていれば${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$_{これにより、V 0}を決定できます。

我々からの距離における銀河中心への重力は次のように表される。

$${\displaystyle R_{0}\Omega ^{2}=R_{0}(A-B)^{2}.}$$

星の軌道を決定する上で重要な、Rに関するこの式の導関数は次のようになる。

$${\displaystyle \Omega ^{2}+2R_{0}\Omega {\frac {d\Omega }{dr}}{\Bigg \vert }_{R_{0}}=\Omega (\Omega -4A)=-(A-B)(3A+B).}$$

オールト定数は銀河の質量分布モデルを制約するのに役立つ。^{[ 6 ]}また、円盤内の楕円軌道の恒星の周転円近似では、周転円周波数は${\displaystyle \kappa }$は${\displaystyle \kappa ^{2}=-4B\Omega }$、 どこ${\displaystyle \Omega }$は角速度である。^{[ 23 ]}したがって、オールト定数は銀河の運動について多くのことを教えてくれる。

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