NLTS 予想

量子情報理論において、低エネルギー自明状態が存在しない (NLTS) という予想は、量子 PCP 定理(qPCP)の前身であり、すべての低エネルギー状態が非自明な複雑性を持つハミルトニアンの族の存在を仮定している。^{[1] [2] [3] [4]これは、2013 年に}マイケル・フリードマンとマシュー・ヘイスティングスによって定式化された。 NLTS は、qPCP 問題の 1 つの側面、つまりNP 完全性を介して局所ハミルトニアンの近似を証明できないことから生じる。^{[2]言い換えれば、qPCP 問題の}QMA複雑性から生じる。^[5]大まかに言えば、これは量子計算の非ニュートン複雑性の 1 つの特性である。^[5] NLTS と qPCP 予想は、相互作用する多数の状態を持つ量子システムの結果を予測することに伴う、ほぼ無限の複雑性を仮定している。^{[6]これらの複雑性の計算は、}高温でのエンタングルメント状態の安定性や自然系におけるエンタングルメントの発生など、量子コンピューティングに影響を与えるだろう。 ^{[7] [6] NLTS予想の証明は}STOC 2023の一環として発表され、出版された。^[8]

NLTS プロパティは、NLTS 予想の基礎となる制約のセットです。^{[引用が必要]}

k局所ハミルトニアン (量子力学)は、 n 個の量子ビットに作用するエルミート行列 であり、それぞれ最大で 個の量子ビットに作用するハミルトニアン項の合計として表すことができます 。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{m}H_{i}.}$

一般的なk局所ハミルトニアン問題は、k局所ハミルトニアンが与えられたときに、の最小の固有値を見つけることです。^[9]はハミルトニアンの 基底状態エネルギーとも呼ばれます。${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda}$

局所ハミルトニアンの族はk局所問題から生じる。KlieschはNLTSの文脈における局所ハミルトニアンの定義として次のように述べている: ^[2]

I ⊂ N をインデックス集合とする。局所ハミルトニアンの族はハミルトニアンの集合 { H ^{( n )} }, n ∈ Iであり、各H ^{( n )は}n 個の有限次元サブシステム（以下では量子ビットとする）上で定義され、次の形式となる。

${\displaystyle H^{(n)}=\sum _{n}H_{m}^{(n)},}$

ここで、各H _m ^{( n )は}O (1)量子ビットに対して非自明に作用します。もう1つの制約は、 H _m ^{( n )}の演算子ノルムがnに依存しない定数で制限され、各量子ビットは定数個の項H _m ^{( n )}にのみ関与することです。

物理学において、位相的秩序^[10]は物質（量子物質とも呼ばれる）の零温度相における一種の秩序である。NLTSの文脈において、クリーシュは「局所ギャップハミルトニアンの族は、積状態から一定深度の回路によって基底状態を準備できない場合、位相的に秩序付けられていると呼ばれる」と述べている。 ^[2]

クリッシュはNLTSプロパティを次のように定義しています: ^[2]

Iをシステムサイズの無限集合とする。局所ハミルトニアンの族{ H ^{( n )} }, n∈Iは、ε >0かつ関数f : N  → Nが存在し、

• すべてのn∈Iに対して、H ^{( n )の}基底エネルギーは0であり、
• 2つの量子ビットゲートからなる任意の深さdの回路Uとn ≥ f ( d )の任意のn∈Iに対して、 ⟨0 ⁿ | U ^† H ^{( n )} U |0 ⁿ ⟩ > εn。

NLTS特性を持つ局所ハミルトニアンの族が存在する。^[2]

NLTS予想を証明することは、証明するのがさらに難しい定理であるqPCP予想を解決するための障害です。[1] qPCP予想は、古典的なPCP定理の量子版です。古典的なPCP定理は、3SATなどの充足可能性問題は、ハミルトン系で同時に満たされることができる節の最大数を推定する際にNP困難であると述べ^ています。[7] わかりやすく言えば、古典的なPCPは、数百個^の磁石で満たされた水槽など、多くの解決状態を持つシステムの結果を予測することに伴うほぼ無限の複雑さを説明しています。^{[6] qPCPは、}量子状態に対してPCPを解こうとすることで複雑さを増大させます。^[6]まだ証明されていませんが、qPCPの肯定的な証明は、ギブス状態の量子エンタングルメントが絶対零度を超える高エネルギー状態で安定を保つことができることを意味します。^[7]

NLTS自体は証明が難しいが、より単純なNLETS定理（低エラー自明状態定理）が証明されており、その証明はNLTSの前身である。^[11]

NLETSは次のように定義される: ^[11]

k > 1 を何らかの整数とし、{ H _n } _{n ∈ N}をk局所ハミルトニアンの族とします。{ H _n } _{n ∈ N}が NLETS となるのは、定数ε > 0 が存在し、{ H _n } _{n ∈ N}の任意のε偽装族F = { ρ _n } _{n ∈ N}が非自明となる場合です。